Вторая производная f''(x) характеризует скорость изменения первой производной, определяя выпуклость графика. Кривизна κ = |f''(x)|/(1+(f'(x))²)^{3/2} количественно измеряет отклонение от прямой. Точки перегиба f'' меняет знак. Эти понятия важны для анализа форм кривых. (287 символов)
Правила дифференцирования позволяют вычислять производные сложных функций через производные простых. Цепное правило (u(g(x)))' = u'(g(x))·g'(x) дифференцирует сложные функции, а неявное дифференцирование решает уравнения вида F(x,y)=0, находя dy/dx без явного выражения y(x). Эти методы составляют основу дифференциального исчисления. (298 символов)
Несобственные интегралы обобщают определенные интегралы на бесконечные интервалы или функции с разрывами: ∫_a^∞ f(x) dx = lim_{b→∞} ∫_a^b f(x) dx. Сходимость требует существования предела. Эти интегралы возникают в вероятностях, физике, анализе Фурье. (278 символов)
Интегрирование по частям ∫u dv = uv - ∫v du и подстановка t = g(x) позволяют вычислять сложные интегралы, сводя их к более простым. Эти методы основаны на формуле производной произведения и замене переменной. Статья детально разбирает алгоритмы и примеры применения. (289 символов)
Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный интеграл Римана с первообразной: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), где F'(x) = f(x). Первообразная F(x) — любая функция, чья производная равна подынтегральной. Эта фундаментальная теорема исчисления объединяет дифференциальное и интегральное исчисление в единое целое. (324 символа)
Ряд Фурье f(x) = a_0/2 + Σ (a_n cos nx + b_n sin nx) разлагает периодическую функцию с периодом 2π на тригонометрические гармоники. Коэффициенты a_n = (1/π)∫_{-π}^π f(x) cos nx dx, b_n = (1/π)∫ f(x) sin nx dx. Метод основан на ортогональности тригонометрической системы. (368 символов)
Ряд Тейлора f(x) = Σ_{n=0}^∞ f^{(n)}(a)/n! (x-a)^n представляет функцию полиномом в окрестности точки a. Формула Маклорена — частный случай при a=0. Остаточный член R_n(x) оценивает точность аппроксимации. Ряды позволяют аналитически продолжать элементарные функции и численно вычислять значения. (342 символа)
Теорема Стокса: ∫_S (curl F) · dS = ∫_∂S F · dr связывает объемный интеграл ротора с поверхностным по границе. Теорема Грина — частный случай в плоскости, Гаусса/Остроградского — для дивергенции. Эти тождества упрощают вычисления и выражают локальные свойства через глобальные. (398 символов)
Дифференциал df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy линейно аппроксимирует приращение функции. Полный дифференциал при y=y(x): df = (∂f/∂x + ∂f/∂y y') dx. Условие точности: ∂M/∂y = ∂N/∂x для M dx + N dy. Используется для интегрирования и численных методов. (378 символов)
