Интегралы по частям и подстановкой: методы вычисления
Интегрирование по частям ∫u dv = uv - ∫v du и подстановка t = g(x) позволяют вычислять сложные интегралы, сводя их к более простым. Эти методы основаны на формуле производной произведения и замене переменной. Статья детально разбирает алгоритмы и примеры применения. (289 символов)
Интегрирование по частям
Формула: ∫u dv = uv - ∫v du. Выбор u: LIATE (Log, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exp). Пример: ∫x e^x dx, u=x, dv=e^x dx → x e^x - ∫e^x dx = e^x (x-1)+C. Циклическое применение при ∫e^{ax} sin bx dx. Интегралы Римана [web:14].
Метод подстановки
t = g(x), dt = g'(x) dx, ∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫f(t) dt. Примеры: ∫sin^3 x dx = ∫sin x (1-cos^2 x) dx, t=cos x; тригонометрические подстановки x=tan θ. Обратная подстановка восстанавливает x. Методы интегрирования [web:11].
Иллюстрирует уменьшение сложности интеграла.
Комбинированные методы
Подстановка + по частям: ∫x^2 e^x dx. Табличные интегралы: ∫1/(1+x^2) dx = arctan x + C. Рациональные дроби через разложение. Связь с несобственными интегралами. Примеры интегрирования [web:12].
Полезная литература: Математический анализ УРАЙТ, Антидемидович Том 3.
