Ряды Тейлора: аппроксимация функций и остаточный член
Ряд Тейлора f(x) = Σ_{n=0}^∞ f^{(n)}(a)/n! (x-a)^n представляет функцию полиномом в окрестности точки a. Формула Маклорена — частный случай при a=0. Остаточный член R_n(x) оценивает точность аппроксимации. Ряды позволяют аналитически продолжать элементарные функции и численно вычислять значения. (342 символа)
Формула Тейлора с остаточным членом
f(x) = Σ_{k=0}^n f^{(k)}(a)/k! (x-a)^k + R_n(x). Лагранжев остаток: R_n(x) = f^{(n+1)}(ξ)/(n+1)! (x-a)^{n+1}, ξ∈(a,x). Оценка: |R_n| ≤ M/(n+1)! |x-a|^{n+1}, M=max|f^{(n+1)}|. Лекция ряды Тейлора [web:15].
Примеры разложений
e^x = Σ x^n/n!, sin x = Σ (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!, cos x = Σ (-1)^n x^{2n}/(2n)!. Радиус сходимости определяется ближайшей особенностью аналитической функции. Примеры рядов Тейлора [web:12].
Показывает сходимость к sin x.
Применения и свойства
Численное интегрирование, решение ДУ, асимптотический анализ. Условие аналитичности: сходимость ряда Тейлора к f на некоторой окрестности. Связь с критериями сходимости. Ряды в анализе [web:11].
Книги: Демидович задачи, Зорич Часть 2.
