Закон больших чисел утверждает, что среднее арифметическое частот независимых испытаний с одинаковой вероятностью сходится к математическому ожиданию. Слабая форма по Чебышеву, сильная по Колмогорову почти наверное. Это обосновывает надежность статистических оценок.
Теорема Байеса P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) позволяет корректировать вероятности на основе новой информации. Формулировка Томаса Байеса (1763) лежит в основе байесовской статистики и машинного обучения. Она связывает априорные вероятности с данными для получения апостериорных оценок.
Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений, возникнувшая в XVII веке из анализа азартных игр. Классическое определение вероятности события A в равновозможных случаях равно отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Это фундаментальный подход, позволяющий рассчитывать шансы в простых экспериментах вроде подбрасывания монеты или броска кубика.
Центральная предельная теорема (ЦПТ) утверждает, что сумма независимых случайных величин, нормированная, сходится к нормальному распределению при n→∞ независимо от исходного закона.
Теорема Байеса P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) обновляет вероятности на основе новых данных, революционизируя статистику. Формулирована Томасом Байесом в XVIII веке, применяется в машинном обучении и медицине.
Биномиальное распределение описывает вероятность успеха в серии независимых испытаний Бернулли с фиксированным числом попыток n и вероятностью успеха p. Эта модель лежит в основе многих статистических приложений, от контроля качества до финансового моделирования. Формула вероятности P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) позволяет точно рассчитывать шансы на k успехов.