Правила дифференцирования: цепное правило и неявное
Правила дифференцирования позволяют вычислять производные сложных функций через производные простых. Цепное правило (u(g(x)))' = u'(g(x))·g'(x) дифференцирует сложные функции, а неявное дифференцирование решает уравнения вида F(x,y)=0, находя dy/dx без явного выражения y(x). Эти методы составляют основу дифференциального исчисления. (298 символов)
Базовые правила дифференцирования
Линейность: (af+bg)'=af'+bg'. Произведение: (uv)'=u'v+uv'. Частное: (u/v)'=(u'v-uv')/v². Эти правила следуют из определения производной через предел. Основные свойства производной [web:7].
Цепное правило
Для f(g(x)): f'(g(x))·g'(x). Пример: d/dx sin(x²) = cos(x²)·2x. Многократное применение: d/dx f(g(h(x))) = f'(g(h(x)))·g'(h(x))·h'(x). Обобщение на n функций. Операционное исчисление.
Геометрически: касательная к внешней функции масштабируется касательной внутренней.
Неявное дифференцирование
Из F(x,y)=0 дифференцируем: ∂F/∂x + ∂F/∂y · y' = 0, откуда y' = - (∂F/∂x)/(∂F/∂y). Пример: x² + y² = 1 дает 2x + 2y y' = 0, y' = -x/y. Неявные функции [web:19].
Применение к параметрическим: x=f(t), y=g(t), dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt). Связь с высшими производными.
Рекомендуемые книги: Демидович Б.П. Задачи анализа, Зорич В.А. Часть 1.
