Теорема Стокса: интегральные теоремы векторного анализа

Теорема Стокса: ∫_S (curl F) · dS = ∫_∂S F · dr связывает объемный интеграл ротора с поверхностным по границе. Теорема Грина — частный случай в плоскости, Гаусса/Остроградского — для дивергенции. Эти тождества упрощают вычисления и выражают локальные свойства через глобальные. (398 символов)

Поверхность с границей для теоремы Стокса

Формулировка теоремы Стокса

Для ориентированной поверхности S с границей ∂S: ∬_S (∇×F) · n dS = ∮_∂S F · dr. Ротор ∇×F = (∂F_z/∂y - ∂F_y/∂z, ∂F_x/∂z - ∂F_z/∂x, ∂F_y/∂x - ∂F_x/∂y). Формула Стокса [web:10].

Теорема Грина

В плоскости: ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮_∂D P dx + Q dy. Пример: площадь D = (1/2) ∮_∂D -y dx + x dy. Теорема Стокса физика [web:16].

Теорема Гаусса

∭_V div F dV = ∬_∂V F · n dS. Поток через замкнутую поверхность равен полным производным внутри. Применение: закон Гаусса электростатики. Связь с дифференциалами. Векторный анализ [web:33].