Экстремумы функций: теоремы Ферма и Ролля

Локальный максимум/минимум — точка, где функция не превосходит/не уступает соседним значениям. Теорема Ферма: в точке локального экстремума f'(c)=0 (при дифференцируемости). Теорема Ролля: если f(a)=f(b), f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то ∃c: f'(c)=0. (312 символов)

Теорема Ферма

Необходимое условие экстремума: f'(c)=0 или недифференцируемость в c. Достаточные условия: смена знака f'. Пример: f(x)=x^3 - 3x, f'(x)=3x^2-3=0 при x=±1. Исследование функций [web:12].

Теорема Ролля

Специальный случай Лагранжа при f(a)=f(b). Доказательство: по Вейерштрассу экстремум в c, по Ферма f'(c)=0. Увеличивает интервалы поиска стационарных точек. Теорема Ролля доказательство [web:6].

Тесты на экстремумы

Первого порядка: f' меняет знак. Второго порядка: f'(c)=0, f''(c)>0 — минимум, f''(c)<0 — максимум. При f''(c)=0 — тест неопределен (x^4). Абсолютные экстремумы: проверка критических точек и концов. Графики экстремумов.