Формула Ньютона-Лейбница: первообразные и определенные интегралы

Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный интеграл Римана с первообразной: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), где F'(x) = f(x). Первообразная F(x) — любая функция, чья производная равна подынтегральной. Эта фундаментальная теорема исчисления объединяет дифференциальное и интегральное исчисление в единое целое. (324 символа)

Первообразные и их свойства

Если F'(x) = f(x), то любая C + F(x) — тоже первообразная. Набор первообразных образует семейство с постоянной C. Таблица: ∫x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C (n≠-1), ∫e^x dx = e^x + C, ∫sin x dx = -cos x + C. Определенный интеграл Римана [web:20].

Формула Ньютона-Лейбница

Доказательство: пусть F(x) = ∫_a^x f(t) dt, тогда F'(x) = f(x) по определению производной. Следовательно ∫_a^b f = F(b) - F(a). Линейность сохраняется: ∫(af+bg) = a∫f + b∫g. Интеграл Римана [web:8].

Пример: ∫_0^π sin x dx = [-cos x]_0^π = -cosπ - (-cos0) = -(-1) - (-1) = 2.

Применения формулы

Вычисление площадей, объемов, длин дуг, работ сил. Связь с методами интегрирования. Теорема о среднем: ∃c ∈ [a,b]: ∫_a^b f = f(c)(b-a). Операционное исчисление [web:24].