Несобственные интегралы: сходимость и приложения

Несобственные интегралы обобщают определенные интегралы на бесконечные интервалы или функции с разрывами: ∫_a^∞ f(x) dx = lim_{b→∞} ∫_a^b f(x) dx. Сходимость требует существования предела. Эти интегралы возникают в вероятностях, физике, анализе Фурье. (278 символов)

График сходимости несобственного интеграла

Типы несобственных интегралов

1) ∫_a^∞ f(x) dx = lim_{b→∞} ∫_a^b f; 2) ∫_{-∞}^b f = lim_{a→-∞} ∫_a^b f; 3) с разрывом в c∈[a,b]: ∫_a^b = lim ∫_a^{c-ε} + ∫_{c+ε}^b. Абсолютная сходимость: ∫|f| < ∞ ⇒ ∫f сходится. Несобственные интегралы [web:8].

Критерии сходимости

Сравнение: 0≤f≤g, ∫g сходится ⇒ ∫f сходится. Предельный сравнения: lim f/g = L ∈ (0,∞), ∫g сходится ⇔ ∫f. Асимптотический: ∫_1^∞ dx/x^p сходится при p>1. Дирихле: если ∫a(t)f(t) dt с ограниченной ∂a/∂t и ∫f ограниченно. Пояснения по интегралам [web:5].

Приложения

Гамма-функция Γ(z) = ∫_0^∞ t^{z-1} e^{-t} dt. Лаплас-преобразование F(s) = ∫_0^∞ f(t) e^{-st} dt. Вероятности: нормальное распределение. $Несобственный интеграл 1/x^2$