Финансовая математика

Уравнение Дюпира и математика локальной волатильности

Фундаментальное предположение формулы Блэка-Шоулза о том, что волатильность финансового актива является константой, было окончательно дискредитировано крахом фондового рынка в октябре 1987 года. С того момента рынок начал котировать опционы "вне денег" со значительной премией, породив феномен "улыбки волатильности". Модель локальной волатильности (Local Volatility), предложенная Бруно Дюпиром в 1994 году, стала изящным математическим решением проблемы: она позволила создать диффузионный процесс, который идеально и безошибочно воспроизводит все рыночные цены европейских опционов на любые страйки и экспирации.

Подробнее

Стохастический дисконтирующий множитель и цены состояний Эрроу-Дебре

Поиск универсальной формулы стоимости активов — центральная задача финансовой экономики. Математический аппарат ценных бумаг Эрроу-Дебре (Arrow-Debreu securities) и Стохастического дисконтирующего множителя (Stochastic Discount Factor, SDF) предоставляет самую элегантную, общую и фундаментальную теорию ценообразования, объединяющую корпоративные финансы, макроэкономику и теорию опционов в единое алгебраическое пространство.

Подробнее

Ценообразование CDO: функция Гауссовой копулы Ли

Математика обеспеченных долговых обязательств (Collateralized Debt Obligations, CDO) представляет собой одну из самых противоречивых и сложных глав современной финансовой инженерии. Инновация CDO заключалась в секьюритизации пула корпоративных или ипотечных долгов и их перераспределении по траншам с различным уровнем старшинства (Seniority). Оценка таких структурированных продуктов упирается в сложнейшую многомерную математическую задачу — моделирование совместной корреляции дефолтов в пуле из сотен заемщиков.

Подробнее

Модель Блэка 1976 года: математика ценообразования опционов на фьючерсы

Оригинальная формула Блэка-Шоулза-Мертона была выведена для спотовых активов — акций, требующих немедленной оплаты. Однако огромный сегмент мировой финансовой индустрии торгует опционами не на спотовые активы, а на фьючерсные и форвардные контракты (сырье, индексы, процентные ставки). Фишер Блэк в 1976 году разработал математическую модификацию оригинальной теории, которая стала универсальным языком трейдеров всего мира для котирования деривативов на производные инструменты.

Подробнее

Модель прыжковой диффузии Мертона: учет внезапных рыночных шоков

Неспособность стандартной геометрического броуновского движения (GBM) описывать экстремальные движения цен (крахи и ралли) привела к необходимости пересмотра базовых аксиом финансовой инженерии. Модель прыжковой диффузии, предложенная Робертом Мертоном в 1976 году, стала первым успешным математическим аппаратом, объединившим непрерывную диффузионную динамику рынка со стохастическими пуассоновскими скачками, описывающими внезапные поступления критически важной макроэкономической или корпоративной информации.

Подробнее

Теория арбитража и Первая фундаментальная теорема оценки активов

Вся современная финансовая инженерия и математика ценообразования деривативов покоится на одном краеугольном концепте — принципе отсутствия арбитража (No-Arbitrage Principle). Арбитраж — это "бесплатный обед", возможность получить безрисковую прибыль без первоначальных инвестиций. Строгая математическая формализация этого принципа, осуществленная Майклом Харрисоном, Дэвидом Крепсом и Стэнли Плиской в конце 1970-х годов, породила Первую фундаментальную теорему оценки активов (First Fundamental Theorem of Asset Pricing) — главный закон количественных финансов.

Подробнее

Модель Самуэльсона и геометрическое броуновское движение в финансах

В 1965 году выдающийся экономист Пол Самуэльсон предложил математическую модель динамики цен на акции, которая навсегда изменила ландшафт количественных финансов. Взяв за основу пионерские, но забытые на полвека работы Луи Башелье, Самуэльсон исправил их фундаментальный математический изъян, введя в финансовую науку понятие Геометрического броуновского движения (Geometric Brownian Motion, GBM), ставшего абсолютным стандартом в теории ценообразования деривативов.

Подробнее

Оптимальное мартингальное хеджирование на неполных финансовых рынках

Фундаментальным триумфом теории Блэка-Шоулза стало доказательство возможности совершенного (perfect) хеджирования: любой производный инструмент может быть идеально синтезирован (реплицирован) через непрерывную торговлю базовым активом и безрисковой облигацией. Однако этот результат опирается на строгую математическую гипотезу полноты рынка (Complete Market). В реальности финансовые рынки неполны: присутствуют скачки цен (jumps), стохастическая волатильность, дискретное время торгов и транзакционные издержки. В условиях неполного рынка идеальное хеджирование невозможно, и финансовая математика предлагает мощный аппарат мартингального хеджирования для минимизации остаточного риска.

Подробнее

Моделирование кредитного риска: структурная модель Мертона

Структурная модель кредитного риска, разработанная нобелевским лауреатом Робертом Мертоном в 1974 году, произвела концептуальный переворот в корпоративных финансах. Она впервые применила математический аппарат ценообразования опционов Блэка-Шоулза к оценке корпоративного долга и вероятности дефолта компании, установив жесткую математическую связь между стоимостью активов компании, структурой ее капитала и кредитным спредом ее облигаций.

Подробнее

Скрытые марковские модели (HMM) в прогнозировании рыночных режимов

Скрытые марковские модели (Hidden Markov Models, HMM) представляют собой мощнейший инструмент статистического обучения в финансовой математике, предназначенный для моделирования и прогнозирования ненаблюдаемых (скрытых) рыночных режимов на основе наблюдаемых данных, таких как цены активов и объемы торгов. В отличие от линейных моделей временных рядов, HMM способны улавливать резкие структурные сдвиги на финансовых рынках, переходы от фазы стабильного роста к фазам турбулентности и кризисов.

Подробнее