Модель Блэка 1976 года: математика ценообразования опционов на фьючерсы
Оригинальная формула Блэка-Шоулза-Мертона была выведена для спотовых активов — акций, требующих немедленной оплаты. Однако огромный сегмент мировой финансовой индустрии торгует опционами не на спотовые активы, а на фьючерсные и форвардные контракты (сырье, индексы, процентные ставки). Фишер Блэк в 1976 году разработал математическую модификацию оригинальной теории, которая стала универсальным языком трейдеров всего мира для котирования деривативов на производные инструменты.
Математическое отличие опциона на фьючерс от опциона на акцию кроется в механизме маржинального обеспечения и отсутствия начальных затрат на приобретение базового актива. При исполнении колл-опциона на фьючерс покупатель не платит страйк $K$ наличными за получение актива; вместо этого он получает длинную фьючерсную позицию с ценой открытия $K$ и мгновенный денежный перевод на маржинальный счет в размере $F - K$, где $F$ — текущая рыночная фьючерсная цена. В рамках риск-нейтральной парадигмы это означает, что сам фьючерсный контракт имеет нулевую текущую стоимость, а его цена $F_t$ под форвардной мартингальной мерой обязана быть мартингалом: $mathbb{E}[F_T | mathcal{F}_t] = F_t$.
Блэк постулировал, что фьючерсная цена $F_t$ следует геометрическому броуновскому движению с нулевым дрейфом: $dF_t = sigma F_t dW_t$. Это элегантное упрощение избавляет модель от необходимости учитывать безрисковую процентную ставку в динамике самого актива, а также проблемы затрат на хранение (Cost of Carry), дивидендов и удобной доходности (Convenience Yield), поскольку все эти факторы уже заложены рынком в текущую фьючерсную цену $F_0$. Решение соответствующего уравнения в частных производных приводит к формуле Блэка-76. Цена европейского колл-опциона на фьючерс вычисляется как дисконтированное математическое ожидание выплаты: $C = e^{-rT} (F_0 N(d_1) - K N(d_2))$.
Значение модели Блэка-76 колоссально выросло в 1980-е и 1990-е годы, когда она стала стандартом де-факто для оценки внебиржевых процентных деривативов — кэпов (Caps), флоров (Floors) и свопционов (Swaptions). Кэплет (один платеж кэпа) математически эквивалентен колл-опциону на форвардную процентную ставку LIBOR. Применяя формулу Блэка и предполагая логнормальность форвардной ставки, банки получили мощный и аналитически прозрачный инструмент ценообразования. Подразумеваемая волатильность, вычисляемая через обращение формулы Блэка (Black Volatility), до сих пор является главным способом обмена ценовой информацией на рынках процентных ставок.
Тем не менее, в условиях низких и отрицательных процентных ставок модель Блэка столкнулась с математическим парадоксом: логнормальный процесс не допускает отрицательных значений $F_t$. Это потребовало перехода к нормальной (Башелье) модели или моделям со смещением (Shifted Black), где $dF_t = sigma (F_t + delta) dW_t$. Но несмотря на эти модификации, элегантность вывода Блэка и концепция использования форвардных цен в качестве мартингалов остаются одной из самых красивых глав в истории прикладной финансовой математики.
Список литературы:
1. Black F. The Pricing of Commodity Contracts. — Journal of Financial Economics, 1976.
2. Халл Дж. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. — М.: Вильямс, 2018.
3. Brigo D., Mercurio F. Interest Rate Models: Theory and Practice. — Springer, 2006.
Эксперты: Фишер Блэк, Джон Халл, Дамиано Бриго.
