Стохастический дисконтирующий множитель и цены состояний Эрроу-Дебре
Поиск универсальной формулы стоимости активов — центральная задача финансовой экономики. Математический аппарат ценных бумаг Эрроу-Дебре (Arrow-Debreu securities) и Стохастического дисконтирующего множителя (Stochastic Discount Factor, SDF) предоставляет самую элегантную, общую и фундаментальную теорию ценообразования, объединяющую корпоративные финансы, макроэкономику и теорию опционов в единое алгебраическое пространство.
Математическая основа теории Эрроу-Дебре лежит в концепции состояний природы. Допустим, будущее описывается набором взаимно исключающих состояний $s in S$. Ценная бумага Эрроу-Дебре для состояния $s$ — это абстрактный финансовый контракт, который выплачивает ровно 1 доллар, если наступает состояние $s$, и 0 во всех остальных случаях. Если рынок является полным, то текущая цена такого контракта $q(s)$ строго положительна, а сумма всех цен состояний $sum q(s)$ равна текущей цене безрисковой облигации $1/(1+r_f)$. Любой существующий финансовый актив можно рассматривать как пакет бумаг Эрроу-Дебре, и его цена $P$ есть не что иное, как скалярное произведение вектора будущих выплат актива $X(s)$ на вектор цен состояний: $P = sum_s q(s) X(s)$.
В условиях непрерывного распределения вероятностей (например, будущей цены рынка) концепция $q(s)$ эволюционирует в Плотность цен состояний (State Price Density, SPD) или Pricing Kernel (ценовое ядро). Если $mathbb{P}(s)$ — физическая (реальная) вероятность наступления состояния, то мы можем определить переменную $m(s) = q(s) / mathbb{P}(s)$, которая называется Стохастическим дисконтирующим множителем. Универсальная формула ценообразования принимает вид простого математического ожидания: $P = mathbb{E}^mathbb{P}[m cdot X]$. Эта формула гениальна в своей простоте: она доказывает, что цена актива — это его ожидаемая будущая выплата, взвешенная на SDF, который действует как "стоимость одного доллара в каждом конкретном состоянии мира".
Интеграция SDF с теорией потребления (CCAPM) показывает, что $m(s)$ напрямую зависит от предельной полезности инвесторов. Значение $m(s)$ высоко в состояниях кризиса (когда богатство низкое и дополнительный доллар крайне ценен) и низко в состояниях экономического бума. Если выплата актива $X$ положительно коррелирует с экономическим ростом (как акции), его цена будет ниже (он требует премии за риск), так как он выплачивает больше именно тогда, когда деньги наименее ценны. Если актив выплачивает много в кризис (как золото или пут-опционы), его цена будет высокой.
В прикладной финансовой инженерии плотность цен состояний (SPD) можно извлечь напрямую из рыночных котировок европейских опционов. Знаменитое уравнение Бридена-Литценбергера (Breeden-Litzenberger, 1978) строго доказывает, что вторая производная цены колл-опциона по страйку $K$ с точностью до дисконтного множителя равна риск-нейтральной плотности вероятности того, что цена базового актива в момент экспирации будет в точности равна $K$: $frac{partial^2 C}{partial K^2} = e^{-rT} q(K)$. Это мощнейшее математическое свойство позволяет квантам "считывать" с рынка скрытую функцию вероятности и конструировать статические репликации для оценки сложнейших нелинейных контрактов.
Список литературы:
1. Cochrane J.H. Asset Pricing. — Princeton University Press, 2005.
2. Arrow K.J. The role of securities in the optimal allocation of risk-bearing. — Review of Economic Studies, 1964.
3. Breeden D.T., Litzenberger R.H. Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices. — Journal of Business, 1978.
Эксперты: Кеннет Эрроу, Жерар Дебре, Джон Кокрейн.
