Математика высокочастотной торговли (HFT): микроструктура рынка и оптимальное маркет-мейкерство

Фундаментальной моделью алгоритмического маркет-мейкинга является модель Авелланеды-Стойкова (Avellaneda-Stoikov), опубликованная в 2008 году. Маркет-мейкер непрерывно выставляет двусторонние котировки (bid и ask), зарабатывая на спреде, но неся инвентарный риск (Inventory Risk) — риск накопления большой позиции перед неблагоприятным движением цены актива. Математически задача формализуется как максимизация ожидаемой экспоненциальной полезности терминального богатства. Поступление рыночных ордеров, исполняющих лимитные заявки маркет-мейкера, моделируется пуассоновскими процессами, интенсивность которых экспоненциально убывает с увеличением расстояния выставленной котировки от справедливой цены (mid-price).

Решение этой задачи управления приводит к системе уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана (HJB). Элегантное асимптотическое решение показывает, что оптимальная стратегия состоит из двух компонентов: резервной цены (Reservation Price) и оптимального спреда. Резервная цена сдвинута относительно справедливой цены пропорционально текущей позиции маркет-мейкера (инвентарю) и его коэффициенту неприятия риска. Если накоплена длинная позиция, алгоритм агрессивно снижает цену Ask, чтобы быстрее распродать актив, и понижает цену Bid, чтобы не купить еще больше. Эта математическая саморегуляция гарантирует возврат инвентаря к нулю в конце торговой сессии.

Современные модели микроструктуры рынка ушли от простых пуассоновских процессов, признав, что рыночные события сильно кластеризованы (одна сделка провоцирует шквал других). Для описания этого феномена применяется математический аппарат процессов Хоукса (Hawkes Processes) — самовозбуждающихся точечных процессов. Интенсивность $\lambda(t)$ процесса Хоукса зависит от всей истории предыдущих скачков: базовый фон плюсуется с экспоненциально затухающими импульсами от каждого прошлого события. Многомерные процессы Хоукса способны моделировать кросс-возбуждение: например, массивные покупки в стакане фьючерса на индекс S&P 500 мгновенно увеличивают вероятность появления ордеров в связанных акциях.

Алгоритмы латентного арбитража и спуфинга выявляются биржами с помощью сложнейшего статистического анализа очередей. Вероятность исполнения лимитного ордера (Fill Probability) вычисляется на основе стохастических дифференциальных уравнений со скачками, моделирующих плотность стакана. Проектирование HFT-систем — это триумф прикладной математики, где интегралы Ито уступают место марковским цепям с непрерывным временем, а побеждает тот алгоритм, чья функция Беллмана вычисляется на ПЛИС (FPGA) чипах за наносекунды.

Список литературы:
1. Avellaneda M., Stoikov S. High-frequency trading in a limit order book. — Quantitative Finance, 2008.
2. Cartea A., Jaimungal S., Penalva J. Algorithmic and High-Frequency Trading. — Cambridge University Press, 2015.
3. Bacry E., Mastromatteo I., Muzy J.F. Hawkes processes in finance. — Market Microstructure and Liquidity, 2015.
Эксперты: Марко Авелланеда, Саша Джеймунгал, Эммануэль Бакри.