Прочность балки при изгибе зависит не только от материала, из которого она изготовлена, но и от аналитической геометрии ее поперечного сечения. Две балки одинаковой площади сечения могут выдерживать совершенно разные нагрузки в зависимости от того, как эта площадь распределена относительно осей изгиба. Для математического описания сопротивляемости формы изгибу инженеры используют концепцию геометрических моментов инерции плоских сечений. Изучение этих моментов сводится к вычислению двойных интегралов по площади фигуры и применению аппарата тензорной алгебры, что делает геометрию масс важнейшим мостом между чистой математикой и сопротивлением материалов.

Многие красивейшие теоремы классической геометрии треугольника, доказываемые в школе через громоздкие дополнительные построения и подобие фигур, на самом деле имеют глубокую аффинную природу. Это означает, что их истинность вообще не зависит от метрики (длин отрезков и точных углов), а опирается исключительно на законы пропорционального деления отрезков. Двумя краеугольными камнями аффинной планиметрии являются теорема Менелая (условие коллинеарности трех точек) и теорема Чевы (условие пересечения трех чевиан в одной точке). Использование методов аналитической геометрии, векторных разложений и матричных определителей позволяет доказать эти античные теоремы в несколько алгебраических строк, открывая путь к их обобщению на многомерные симплексы (тетраэдры и гиперкубы).

Аналитическая геометрия предлагает множество альтернатив декартовой прямоугольной сетке. Если барицентрические координаты определяют положение точки через весовые доли площадей треугольника, то трилинейные координаты (введенные немецким математиком Юлиусом Плюккером в XIX веке) используют принципиально иной подход. Они измеряют относительные, ориентированные расстояния от исследуемой точки до трех прямых линий, образующих стороны базисного треугольника. Трилинейные координаты раскрывают поразительную алгебраическую симметрию точек и линий, позволяя выводить уравнения вписанных и описанных конических сечений с невероятной компактностью и доказывать сложнейшие геометрические свойства центров треугольника.