Традиционная линейная алгебра имеет дело исключительно с векторными пространствами. Векторы можно складывать друг с другом и умножать на числа. Однако в реальной физической геометрии нас окружают не только векторы (смещения или скорости), но и точки (конкретные позиции в пространстве). Очевидно, что сложение двух точек не имеет никакого геометрического смысла (что такое «Москва плюс Париж»?). Чтобы строго математически объединить точки и векторы в единую алгебраическую структуру, немецкий математик Герман Вейль аксиоматизировал понятие аффинного пространства. Это пространство абстрагируется от понятия абсолютного начала координат, делая все точки равноправными и описывая геометрию мира через относительные смещения.

В аналитической геометрии и векторном анализе визуализация функций трех переменных $U = f(x, y, z)$ представляет собой серьезную математическую проблему, поскольку для прямого построения графика такой функции потребовалось бы четырехмерное пространство. Чтобы обойти это топологическое ограничение, математики и физики используют концепцию поверхностей уровня. Подобно тому, как двумерные изолинии на топографической карте показывают линии одинаковой высоты рельефа, трехмерные поверхности уровня отображают множества точек в пространстве, в которых скалярная функция принимает одно и то же постоянное значение. Этот геометрический аппарат является фундаментом для описания температурных, барических и гравитационных полей в физике сплошных сред.

Традиционная аналитическая геометрия описывает гладкие, идеально ровные объекты: прямые, плоскости, эллипсоиды. Однако природные структуры — облака, береговые линии, кроны деревьев и горные хребты — имеют принципиально иную топологию. Они изломаны, шероховаты и обладают свойством самоподобия (каждый фрагмент объекта при увеличении выглядит как уменьшенная копия всего объекта). Для математического описания таких структур Бенуа Мандельброт ввел понятие фрактала. Одним из самых мощных методов генерации и анализа детерминированных фракталов в аналитической геометрии является применение Систем Итерируемых Функций (Iterated Function Systems, IFS), опирающихся на алгебру сжимающих аффинных преобразований.