На протяжении столетий математики были убеждены, что одномерная кривая линия фундаментально отличается от двумерной поверхности, и кривая никогда не сможет полностью заполнить квадрат без пробелов. Это казалось аксиомой евклидовой геометрии. Однако в 1890 году итальянский математик Джузеппе Пеано совершил аналитическое землетрясение, доказав существование непрерывной кривой, которая проходит абсолютно через каждую точку квадрата. Кривые Пеано (и их родственники, кривые Гильберта) сломали интуитивное понимание размерности, породив фрактальную геометрию и создав математический аппарат для одномерного индексирования многомерных баз данных в современной информатике.

Аналитическая геометрия часто сталкивается с проблемой описания бесконечно удаленных точек. Обычная декартова плоскость не имеет края, что делает анализ поведения кривых «на бесконечности» крайне сложным. Стереографическая проекция предлагает элегантное геометрическое решение: она взаимно однозначно отображает всю бесконечную двумерную плоскость на поверхность компактной трехмерной сферы (проколотой в одной точке). Этот метод, известный еще Птолемею в античности для создания астролябий, сегодня является фундаментом комплексного анализа, позволяя математикам замкнуть плоскость в Сферу Римана и оперировать бесконечностью как обычной алгебраической точкой.

Когда картографы создают карты земного шара, они неизбежно искажают площади и формы континентов, перенося сферическую поверхность на плоский лист. Однако для морской навигации критически важно, чтобы углы пересечения компасных курсов на карте строго соответствовали реальным углам в океане. Преобразования аналитической геометрии, которые до неузнаваемости искажают расстояния и площади, но при этом абсолютно идеально сохраняют все углы (как по величине, так и по направлению отсчета), называются конформными отображениями. Язык комплексного анализа позволяет описывать эти геометрические чудеса простейшими алгебраическими функциями, находящими мощнейшее применение в аэродинамике и электростатике.