При изучении сложной траектории точки в трехмерном пространстве недостаточно знать лишь локальный базис Френе. Для полного математического описания формы кривой необходимо уметь алгебраически измерять скорость ее отклонения от идеальной прямой линии и от идеальной плоскости. Эти две фундаментальные числовые характеристики называются кривизной и кручением соответственно. Аналитическая геометрия предоставляет строгие векторные формулы для их мгновенного вычисления по параметрическому уравнению кривой. Именно эти формулы лежат в основе проектирования транспортных магистралей, промышленных манипуляторов и расчета аэродинамических профилей.

В течение почти двух тысяч лет после того, как Аполлоний Пергский описал эллипс, параболу и гиперболу как сечения трехмерного конуса плоскостью, связь между этим пространственным происхождением коник и их плоскими фокальными свойствами оставалась загадкой. Почему сумма расстояний от точек сечения до двух фокусов эллипса является константой? В 1822 году бельгийский математик Жерминаль Пьер Данделен предложил потрясающе изящное и наглядное доказательство, поместив внутрь конуса две касающиеся сферы. Шары Данделена объединили трехмерную стереометрию и двумерную аналитическую геометрию, дав блестящее математическое обоснование физическим орбитам планет и оптическим законам.

Классическая геометрия Древней Греции подарила миру три неразрешимые задачи: квадратуру круга, трисекцию угла и удвоение куба (Делосская задача). Поскольку эти задачи невозможно решить с помощью циркуля и линейки (то есть с помощью пересечения прямых и окружностей — кривых первого и второго порядка), античные математики изобрели принципиально новые, более сложные кривые. Аналитическая геометрия Декарта позволила формализовать эти интуитивные кинематические построения, записав их в виде алгебраических уравнений третьей и четвертой степени. Изучение циссоиды Диокла, строфоиды и конхоиды Никомеда открыло новую главу в высшей алгебре, посвященную теории особых точек и асимптот.