Линейные преобразования пространства задаются умножением векторов координат на квадратные матрицы. На первый взгляд, умножение на матрицу общего вида выглядит как хаотичная и непредсказуемая деформация (перекос, растяжение и сдвиг одновременно). Существует ли способ геометрически упорядочить этот хаос? Аналитическая геометрия совместно с линейной алгеброй дает положительный ответ в виде теоремы о Сингулярном разложении (Singular Value Decomposition, SVD). Эта теорема доказывает, что абсолютно любое, сколь угодно сложное линейное преобразование пространства можно расщепить на последовательность из трех простейших, интуитивно понятных геометрических шагов: чистого вращения, чистого растяжения по осям и еще одного чистого вращения.

Классическая аналитическая геометрия изучает кривые, заданные жесткими алгебраическими уравнениями (окружности, параболы, гиперболы). Однако для промышленного дизайна кузовов автомобилей, проектирования фюзеляжей самолетов и создания масштабируемых векторных шрифтов (TrueType) требуются линии совершенно иной природы — свободные, плавные и легко управляемые. В 1960-х годах французские инженеры Пьер Безье и Поль де Кастельжо разработали математический аппарат для параметрического конструирования таких кривых. Кривые Безье стали триумфом прикладной аналитической геометрии, навсегда изменив облик систем автоматизированного проектирования (CAD) и современной компьютерной 3D-графики.

В аналитической геометрии существуют поверхности, обладающие парадоксальным свойством: будучи криволинейными и изогнутыми в пространстве, они целиком сотканы из абсолютно прямых линий. Такие поверхности называются линейчатыми. Каждая прямая линия, целиком лежащая на поверхности, называется ее образующей. Математическое чудо заключается в том, что некоторые поверхности второго порядка (обладающие двойной кривизной) допускают существование сразу двух независимых семейств прямолинейных образующих. Это открытие совершило революцию в архитектуре, позволив выдающемуся инженеру Владимиру Шухову создавать легчайшие и прочнейшие ажурные башни из прямых стальных профилей, не требующих изгибания металла.