На протяжении тысячелетий пятый постулат Евклида о параллельных прямых считался незыблемой истиной. Однако в XIX веке Николай Лобачевский доказал возможность существования совершенно иной, непротиворечивой геометрии, в которой через точку вне прямой можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих данную. Сначала эти идеи казались абстрактной фантазией, но позже математики Эудженио Бельтрами, Феликс Клейн и Анри Пуанкаре создали строгие аналитические модели, которые позволили визуализировать и изучать геометрию Лобачевского методами классической Декартовой алгебры. Модель диска Пуанкаре переводит парадоксальную геометрию отрицательной кривизны на язык евклидовых окружностей внутри единичного круга.

Евклидова аналитическая геометрия прекрасно работает на плоском листе бумаги или в прямоугольном трехмерном пространстве, где расстояние между точками легко вычисляется по теореме Пифагора. Однако при переходе к геометрии сложных криволинейных поверхностей (например, сферы, тора или четырехмерного пространства-времени) теорема Пифагора перестает работать. Кратчайшее расстояние между двумя городами на поверхности Земли — это не прямая линия, а дуга большого круга. Для алгебраического описания геометрии таких искривленных миров Бернхард Риман создал аппарат дифференциальной геометрии, краеугольным камнем которого является фундаментальная матрица $g_{ij}$ — метрический тензор. Он определяет сами понятия длины, угла и объема в любой произвольно искривленной системе координат.

Любая гладкая кривая на плоскости изгибается в пространстве. В каждой своей точке она имеет определенный радиус кривизны — радиус идеальной окружности, которая максимально плотно прилегает к этой кривой в данной локальной окрестности (соприкасающаяся окружность). Если мы начнем двигаться вдоль кривой, то центр этой соприкасающейся окружности также начнет двигаться, описывая совершенно новую геометрическую траекторию. Аналитическая геометрия называет эту новую траекторию эволютой исходной кривой. Концепция эволют и обратный им процесс построения эвольвент являются математическим сердцем современного машиностроения, зубчатых передач и кинематического анализа сложнейших механизмов.