Инверсия (симметрия относительно окружности) — это одно из самых удивительных и контринтуитивных преобразований в аналитической геометрии. В отличие от классических аффинных преобразований (параллельных сдвигов, вращений и масштабирований), которые линейны и сохраняют прямые линии прямыми, инверсия является нелинейным преобразованием, которое выворачивает геометрическое пространство наизнанку. Она берет всю внутренность базовой окружности и бесконечно растягивает ее на всю внешнюю плоскость, а всю бесконечную внешнюю область «сжимает» внутрь этого крошечного круга. Аналитическое описание этого преобразования позволяет доказывать сложнейшие топологические теоремы, переводя сложные криволинейные задачи на язык пересечения прямых линий.

В 1827 году немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус ввел в аналитическую геометрию совершенно новую систему координат — барицентрическую. В отличие от декартовой системы, которая жестко отсчитывает расстояния от перпендикулярных осей, барицентрические координаты определяют положение точки относительно вершин заданного базисного многоугольника (симплекса) — например, треугольника на плоскости или тетраэдра в трехмерном пространстве. Геометрически эти координаты интерпретируются как точечные массы, которые необходимо поместить в вершины фигуры, чтобы искомая точка стала ее точным центром тяжести. Этот изящный метод оказался абсолютно незаменимым для компьютерной графики, позволяя интерполировать цвета и текстуры внутри полигонов.

Аналитическая геометрия пространственных кривых, заданных параметрическими уравнениями, неразрывно связана с дифференциальным исчислением и понятием локального базиса. В отличие от глобальной декартовой системы координат, оси которой неподвижны, локальный репер Френе-Серре «путешествует» в пространстве вместе с точкой по самой кривой, непрерывно адаптируясь к ее изгибам и закручиваниям. Эта подвижная система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных ортов (касательного, нормали и бинормали), позволяет физикам и инженерам строго алгебраически описывать кинематику движения американских горок, спиралей ДНК и траектории полета баллистических ракет.