Вычисление площадей и объемов тел сложной пространственной формы — одна из древнейших задач геометрии. В аналитической геометрии и интегральном исчислении особое место занимают тела и поверхности вращения, которые образуются при непрерывном вращении произвольной плоской кривой вокруг некоторой оси. Задолго до изобретения дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем, античный математик Папп Александрийский (а позже, в XVII веке, швейцарец Пауль Гюльден) сформулировали две поразительные теоремы. Эти теоремы связывают площадь поверхности и объем тела вращения с кинематической траекторией центра масс образующей фигуры, элегантно соединяя геометрию с классической механикой.

Выбор системы координат — это всегда вопрос удобства исследователя, а не внутреннее свойство самой физической реальности. Сложные геометрические поверхности или физические тензоры, уравнения которых выглядят громоздкими и нерешаемыми в одной системе отсчета, могут приобрести идеально простую, диагональную форму при удачном повороте осей. Поэтому важнейшим инструментом аналитической геометрии является алгебраический аппарат преобразования координат. Он позволяет математически безупречно пересчитывать числовые значения (координаты точек и компоненты векторов) при смене базиса, опираясь на использование матриц перехода. Эти преобразования делятся на ковариантные и контравариантные, что составляет основу тензорного исчисления.

Исторически аналитическая геометрия зарождалась как наука о точках и отрезках на плоскости или в трехмерном пространстве. Однако потребности квантовой механики, теории относительности и функционального анализа привели математиков к необходимости обобщения геометрических идей на пространства любой, в том числе бесконечной, размерности. Так возникла концепция линейного (векторного) пространства — абстрактной алгебраической структуры, в которой элементы можно складывать друг с другом и умножать на числа (скаляры), не опираясь на их визуальное геометрическое представление. Понимание аксиоматики векторных пространств и свойств базисов является фундаментом современной высшей алгебры и многомерной геометрии.