В евклидовой геометрии на плоскости и в трехмерном пространстве для вычисления площадей и объемов используются определители и векторные (а также смешанные) произведения. Но как вычислить объем пятимерного параллелепипеда в десятимерном пространстве? Обычное векторное произведение там физически не работает. Для решения этой фундаментальной метрической задачи датский математик Йорген Педерсен Грам ввел универсальную алгебраическую конструкцию — Матрицу Грама. Она состоит исключительно из всевозможных попарных скалярных произведений векторов и позволяет аналитически находить гиперобъемы, углы между подпространствами и строить оптимальные ортогональные проекции.

Общее уравнение поверхности второго порядка в трехмерном пространстве содержит десять алгебраических коэффициентов и описывает широчайший спектр трехмерных фигур: от реальных эллипсоидов и однополостных гиперболоидов до вырожденных пар плоскостей и мнимых конусов. Приведение этого громоздкого полинома к наглядному каноническому виду путем подбора углов поворота осей координат — процесс крайне трудоемкий. Однако, подобно кривым на плоскости, трехмерные поверхности можно мгновенно классифицировать с помощью алгебраической теории инвариантов. Вычисление нескольких матричных детерминантов позволяет машине безошибочно определить топологический тип поверхности, не решая самого нелинейного уравнения.

Нахождение кривой, по которой пересекаются две поверхности второго порядка (эллипсоиды, конусы, цилиндры) — одна из красивейших и самых сложных задач начертательной и аналитической геометрии. В общем случае такая линия является пространственной кривой четвертого порядка (биквадратичной кривой). Однако существуют уникальные геометрические ситуации, когда эта сложная пространственная кривая распадается на две более простые плоские кривые второго порядка. Строгие условия такого алгебраического распада описываются теоремой Гаспара Монжа, которая стала фундаментальным правилом при проектировании пересекающихся труб, резервуаров и сложных архитектурных сводов.