Декартова и аффинная геометрии вынуждены жестко классифицировать эллипсы, параболы и гиперболы как принципиально разные, несовместимые объекты. Это разделение продиктовано исключительно их поведением на бесконечности (эллипс замкнут, парабола уходит в одну сторону, гипербола разрывается на две ветви). Проективная геометрия, расширяя классическую плоскость бесконечно удаленной линией и используя однородные координаты, радикально устраняет это искусственное разделение. В проективном пространстве все невырожденные действительные кривые второго порядка (коники) оказываются абсолютно эквивалентными друг другу. Это грандиозное геометрическое объединение позволяет доказывать сложнейшие теоремы, переводя их на универсальный язык алгебры матриц третьего порядка.

Любая центральная поверхность второго порядка, будь то эллипсоид или гиперболоид, обладает природными осями симметрии. Однако если эта поверхность расположена в пространстве произвольным образом (повернута относительно осей координат), ее уравнение содержит сложные перекрестные члены xy, xz и yz. Интуитивно распознать ориентацию такой поверхности невозможно. Поиск главных направлений (главных осей симметрии) является одной из самых важных и математически глубоких задач аналитической геометрии. Эта задача изящно решается методами спектральной линейной алгебры — через поиск собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы старшей квадратичной формы. Определение главных направлений позволяет инженерам находить главные оси инерции твердых тел и тензоры напряжений в балках.

В классической школьной геометрии диаметр определяется исключительно для окружности или сферы как хорда, проходящая через центр симметрии фигуры. Однако аналитическая геометрия предлагает радикальное и мощное обобщение этого понятия для абсолютно всех кривых и поверхностей второго порядка, включая те, которые уходят в бесконечность (параболы). Обобщенный диаметр строится не на основе центра, а на основе теоремы о серединах параллельных хорд. Диаметр в высшей геометрии — это геометрическое место середин хорд определенного заданного направления. Изучение диаметров и их пространственных аналогов (диаметральных плоскостей) раскрывает глубочайшую внутреннюю алгебраическую симметрию форм и дает математикам идеальный инструмент для построения так называемых сопряженных базисов.