Кривые Безье: аналитическая геометрия сплайнов и компьютерного дизайна

Параметрическое уравнение и полиномы Бернштейна

В отличие от функции y = f(x), кривая Безье строится параметрически. Положение точки на кривой задается вектор-функцией P(t), где параметр t плавно изменяется от 0 (начало кривой) до 1 (конец кривой). Форма кривой полностью управляется небольшим набором контрольных (опорных) точек в пространстве. Векторное уравнение кривой Безье степени n вычисляется как взвешенная сумма координат этих опорных точек. Весовыми коэффициентами выступают полиномы Бернштейна: B(i, n, t) = C(n, i) * t^i * (1-t)^(n-i), где C(n, i) — биномиальный коэффициент. Эти полиномы обладают уникальным свойством нормализации: при любом значении параметра t сумма всех весовых коэффициентов строго равна единице. Это математически гарантирует, что построенная кривая всегда будет находиться внутри выпуклой оболочки (convex hull), образованной ее контрольными точками.

Кубическая кривая Безье

Наибольшее распространение в компьютерной графике (например, в форматах SVG и PostScript) получили кубические кривые Безье (степень n=3). Такая кривая управляется ровно четырьмя контрольными точками: P0, P1, P2 и P3. Кривая строго выходит из первой точки P0 и строго заканчивается в четвертой точке P3. Две промежуточные точки (P1 и P2) работают как магнитные «манипуляторы», которые притягивают кривую к себе, задавая направление и силу изгиба. Выдающимся свойством аналитической геометрии кривой Безье является то, что вектор касательной в стартовой точке P0 абсолютно строго коллинеарен вектору (P1 - P0), а вектор касательной в конечной точке P3 коллинеарен вектору (P3 - P2). Это позволяет дизайнерам идеально точно настраивать направление входа и выхода кривой.

Алгоритм де Кастельжо: геометрия рекурсии

Хотя формула с полиномами Бернштейна элегантна, для компьютеров прямое вычисление степеней обходится дорого. Поль де Кастельжо изобрел феноменальный геометрический алгоритм построения кривой, основанный на рекурсивном делении отрезков. При фиксированном значении t (например, t=0.5) алгоритм последовательно делит отрезки между соседними контрольными точками в пропорции t. Точки деления соединяются новыми отрезками, которые снова делятся в той же пропорции. Для кубической кривой этот процесс повторяется трижды, пока не останется одна-единственная точка. Эта точка гарантированно лежит на кривой Безье! Алгоритм де Кастельжо абсолютно устойчив к вычислительным ошибкам округления и позволяет процессорам молниеносно интерполировать сплайны.

Сшивка сплайнов и геометрическая гладкость

Одиночная кубическая кривая Безье не может описать сложный контур (например, силуэт гитары). Для этого используют составные кривые — сплайны (цепочки последовательно соединенных кривых Безье). Главная проблема при сшивке — обеспечение гладкости в местах стыка. Аналитическая геометрия определяет несколько уровней гладкости. Позиционная гладкость (G0) означает, что конец первой кривой просто совпадает с началом второй. Геометрическая касательная гладкость (G1) требует, чтобы касательные векторы обеих кривых в точке стыка лежали на одной прямой (чтобы не было излома). Для идеального зеркального блеска на кузовах автомобилей инженеры требуют кривизную гладкость (G2) — равенство радиусов кривизны обеих кривых в месте их соединения, что алгебраически накладывает строгие ограничения на взаимное расположение всех опорных точек.