Плоскость и прямая в трехмерном пространстве: аналитический подход

Уравнения плоскости в пространстве

Простейший способ жестко зафиксировать плоскость в 3D-пространстве — задать точку M0(x0; y0; z0), лежащую на этой плоскости, и вектор нормали n = (A; B; C), который перпендикулярен абсолютно любой прямой, проведенной в этой плоскости. Для любой другой точки M(x; y; z) на плоскости вектор M0M обязан быть ортогонален вектору нормали. Приравнивая их скалярное произведение к нулю, мы получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0. Раскрыв скобки, мы приходим к Общему уравнению плоскости: Ax + By + Cz + D = 0. Коэффициенты при x, y, z по-прежнему выдают нам координаты вектора нормали. Также существует уравнение плоскости в отрезках (x/a + y/b + z/c = 1) и уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой, которое записывается в виде определителя третьего порядка, приравненного к нулю.

Прямая линия в 3D-пространстве

Прямую линию в трехмерном пространстве нельзя описать одним линейным уравнением (одно уравнение Ax+By+Cz+D=0 всегда задает плоскость). Прямая задается как пересечение двух непараллельных плоскостей, что алгебраически записывается системой из двух линейных уравнений. Однако для вычислений гораздо удобнее использовать канонические и параметрические уравнения. Если задана начальная точка прямой M0(x0; y0; z0) и направляющий вектор s = (m; n; p) (который параллелен этой прямой), то каноническое уравнение выглядит как двойная пропорция: (x - x0)/m = (y - y0)/n = (z - z0)/p. Введя параметр t, мы разбиваем эту пропорцию на систему параметрических уравнений: x = x0 + mt, y = y0 + nt, z = z0 + pt. Эта форма идеальна для вычисления точек пересечения прямой с плоскостью: достаточно подставить x, y, z из параметрических уравнений прямой в общее уравнение плоскости и найти единственный неизвестный параметр t.

Взаимное расположение объектов

Аналитическая геометрия позволяет без построения чертежей мгновенно определять взаимное расположение объектов. Угол между двумя плоскостями равен углу между их векторами нормалей, который вычисляется через скалярное произведение. Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Угол между прямой и плоскостью вычисляется через синус угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости. Две плоскости параллельны, если их нормали коллинеарны (координаты пропорциональны). Условие перпендикулярности прямой и плоскости означает, что направляющий вектор прямой коллинеарен вектору нормали плоскости.

Метрические задачи: расстояния в 3D

Вычисление расстояний — венец метрической аналитической геометрии. Расстояние от точки M1(x1; y1; z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по изящной формуле, аналогичной двумерному случаю: в числитель ставится модуль выражения |Ax1 + By1 + Cz1 + D|, а в знаменатель — длина вектора нормали sqrt(A^2 + B^2 + C^2). Одной из самых сложных задач геометрии является поиск кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися (не параллельными и не пересекающимися) прямыми в пространстве. В аналитическом виде эта задача решается элегантно с помощью смешанного произведения. Расстояние равно модулю объема параллелепипеда, построенного на двух направляющих векторах прямых и векторе, соединяющем начальные точки этих прямых, деленному на площадь основания (модуль векторного произведения направляющих векторов).