Поверхности второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды

Эллипсоид: обобщение сферы

Простейшей из невырожденных поверхностей второго порядка является эллипсоид. Его каноническое уравнение выглядит как симметричная сумма квадратов: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$. Параметры $a$, $b$ и $c$ называются полуосями эллипсоида. Эта поверхность полностью замкнута и ограничена в пространстве. Если все три полуоси равны между собой ($a = b = c$), эллипсоид превращается в идеальную сферу. Если равны только две полуоси, поверхность называется эллипсоидом вращения — именно такую сплюснутую форму (геоид) имеет наша планета Земля из-за центробежных сил вращения. Сечение эллипсоида любой произвольной плоскостью всегда является эллипсом или точкой, что активно используется в начертательной геометрии и компьютерном 3D-моделировании.

Однополостный и двуполостный гиперболоиды

Если в каноническом уравнении эллипсоида изменить знак перед одной из дробей на минус, мы получим однополостный гиперболоид: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$. Внешне он напоминает бесконечную песочные часы или катушку для ниток. Уникальной особенностью однополостного гиперболоида является то, что это линейчатая поверхность: несмотря на изогнутость, она целиком состоит из прямых линий. Этим выдающимся свойством воспользовался инженер Владимир Шухов, построив знаменитую Шуховскую телебашню в Москве — прочнейшую сетчатую конструкцию, собранную исключительно из прямых стальных балок. Если же в уравнении два минуса, поверхность распадается на две не связанные друг с другом бесконечные чаши — это двуполостный гиперболоид, геометрия которого описывает траектории альфа-частиц в резерфордовском рассеянии.

Эллиптические и гиперболические параболоиды

Параболоиды описываются уравнениями, в которых одна из переменных находится в первой степени. Эллиптический параболоид задается уравнением $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z$. Внешне он похож на чашу или антенну радара. Сечения этой поверхности горизонтальными плоскостями дают эллипсы, а вертикальными — параболы. Совершенно иную топологию имеет гиперболический параболоид (уравнение $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z$). Эту поверхность часто называют «седлом» из-за характерной формы. Точка в центре седла (минимаксовая точка) является уникальной: двигаясь вдоль одной оси, мы находимся в локальном минимуме, а вдоль другой — в локальном максимуме. Седловидные поверхности также являются линейчатыми и активно применяются в современной параметрической архитектуре для создания прочных оболочек-перекрытий стадионов и аэропортов.

Конусы и цилиндры второго порядка

Среди поверхностей второго порядка существуют и так называемые вырожденные поверхности. Если правая часть уравнения эллипсоида или гиперболоида становится равной нулю ($\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$), мы получаем конус второго порядка. Он состоит из двух бесконечных воронок, сходящихся в одной точке (вершине). Если же из канонического уравнения полностью исчезает одна переменная (например, $z$), то уравнение на плоскости задает кривую, а в трехмерном пространстве эта кривая вытягивается вдоль отсутствующей оси, образуя цилиндрическую поверхность. Существуют эллиптические, гиперболические и параболические цилиндры. Их математический анализ предельно прост, так как их кривизна вдоль одной из координатных осей тождественно равна нулю.