Теорема Данделена: аналитическое доказательство фокальных свойств коник

Конструкция шаров Данделена

Рассмотрим прямой круговой конус и секущую плоскость, которая пересекает все образующие конуса (то есть формирует эллипс). Идея Данделена заключается во вписывании внутрь конуса двух сфер (шаров). Верхняя сфера (маленькая) опускается в конус до тех пор, пока не коснется его стенок изнутри и одновременно не ляжет на секущую плоскость сверху. Нижняя сфера (большая) поднимается снизу, касаясь конуса и подпирая секущую плоскость снизу. Геометрия гарантирует, что каждая сфера касается конической поверхности по идеальной окружности. Самое феноменальное следствие конструкции: точки, в которых эти вписанные сферы касаются секущей плоскости, и есть те самые фокусы (F1 и F2) образующегося эллипса!

Аналитическое доказательство суммы расстояний

Для доказательства фокального свойства выберем абсолютно произвольную точку M на периметре нашего эллипса (сечения). Проведем из вершины конуса прямую линию (образующую), проходящую через точку M. Эта образующая касается верхней сферы в точке P1, а нижней сферы — в точке P2. Из точки M также проведем два отрезка к точкам касания сфер на плоскости — к фокусам F1 и F2. Главный принцип аналитической геометрии гласит: отрезки касательных, проведенных из одной точки к сфере, абсолютно равны по длине. Это означает, что отрезок M-F1 равен отрезку M-P1, а отрезок M-F2 равен отрезку M-P2.

Константа большой оси

Сложим эти два расстояния: |M-F1| + |M-F2| = |M-P1| + |M-P2|. Но сумма отрезков на образующей конуса |M-P1| + |M-P2| — это просто расстояние по образующей между двумя параллельными окружностями касания сфер! Это расстояние между окружностями абсолютно неизменно и постоянно для любой образующей конуса. Следовательно, сумма расстояний |M-F1| + |M-F2| является строгой константой, не зависящей от выбора точки M. Это блестяще доказывает базовое аналитическое определение эллипса. Аналогично, если секущая плоскость круче наклонена и рассекает конус на гиперболу, одна сфера помещается в верхнюю чашу конуса, другая — в нижнюю, а разность отрезков касательных алгебраически выводится как неизменная константа гиперболы.

Директрисы через секущие плоскости

Аппарат сфер Данделена позволяет аналитически вывести и существование директрис (прямых, отношение расстояний до которых от фокуса определяет эксцентриситет кривой). Плоскости, в которых вписанные сферы касаются конуса, пересекаются с секущей плоскостью, образующей эллипс или гиперболу. Линии их взаимного пересечения — это прямые на плоскости сечения. Теорема Данделена доказывает, что эти прямые пересечения являются в точности директрисами конического сечения! Использование векторной алгебры для расчетов углов наклона этих пересекающихся плоскостей позволяет мгновенно вычислить эксцентриситет орбиты небесного тела, зная только геометрию проективного конуса скоростей.