Если первая квадратичная форма описывает исключительно внутреннюю геометрию поверхности (измерения, которые может провести «плоский» наблюдатель, ползающий по ней и не подозревающий о существовании третьего измерения), то вторая квадратичная форма отвечает за внешнюю геометрию — то, как эта поверхность изгибается и располагается в объемлющем трехмерном евклидовом пространстве. Совместный алгебраический анализ этих двух квадратичных форм дает исчерпывающее математическое описание любой гладкой оболочки. Именно этот инструмент дифференциальной аналитической геометрии повсеместно используется инженерами-конструкторами при проектировании обтекаемых аэродинамических профилей, автомобильных кузовов и расчете напряжений в тонкостенных бетонных конструкциях.

В аналитической геометрии переход от изучения плоских фигур к анализу искривленных поверхностей требует разработки принципиально нового мощного алгебраического аппарата. Основой этого математического языка выступает первая квадратичная форма поверхности. Она представляет собой дифференциальное выражение, которое полностью и однозначно определяет внутреннюю метрику многообразия: длины дуг кривых, углы между пересекающимися на поверхности линиями и площади локальных участков. Глубокое понимание первой квадратичной формы позволяет современным картографам и геодезистам переносить измерения с трехмерного глобуса на плоские навигационные карты, математически точно оценивая и минимизируя возникающие при этом масштабные искажения.

Древние греки доказали, что в трехмерном мире существует ровно пять правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел): тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Но что произойдет, если мы добавим четвертое, пятое или десятое пространственное измерение? Аналитическая геометрия позволяет исследовать эти многомерные фигуры (политопы) с помощью матриц и векторов, не полагаясь на человеческое зрение. Изучение граней, ребер и гиперплоскостей многомерных правильных политопов открыло поразительные симметрии математической вселенной и создало геометрический базис для алгоритмов линейного программирования (симплекс-метода) в современной экономике.