Венцом развития аналитической геометрии в физике стало пространство Минковского — четырехмерное математическое многообразие, объединившее три пространственных измерения и одно временное в единый неразрывный геометрический континуум. Изобретенное Германом Минковским в 1908 году для алгебро-геометрической формулировки Специальной теории относительности Эйнштейна, это пространство кардинально отличается от классического евклидова многомерного пространства своей уникальной псевдоевклидовой метрикой. В этом парадоксальном геометрическом мире квадрат расстояния может быть отрицательным числом, а геометрия гиперболоидов исчерпывающе описывает все контринтуитивные эффекты замедления времени и сокращения длин при движениях со скоростями, близкими к скорости света.

Понятие прямой линии интуитивно абсолютно очевидно на плоской евклидовой бумаге, но что служит ее аналогом на искривленной поверхности сферы, рельефного эллипсоида или тора? В аналитической геометрии и вариационном исчислении строгим обобщением понятия прямой выступают геодезические линии. Это уникальные кривые, которые локально реализуют кратчайшее (или стационарное) расстояние между двумя точками на искривленном многообразии. Поиск алгебраических уравнений геодезических линий требует решения сложных систем нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Этот математический аппарат жизненно необходим не только для абстрактной геометрии, но и для маршрутизации трансконтинентальных авиаперелетов, а также для расчета траекторий света вблизи черных дыр.

Одной из величайших вершин математической мысли XIX века является «Замечательная теорема» (Theorema Egregium), открытая и доказанная Карлом Фридрихом Гауссом в 1827 году. В ходе своих исследований геодезии и картографии Гаусс обнаружил потрясающий алгебро-геометрический парадокс. Он доказал, что полная (гауссова) кривизна поверхности, которая изначально определяется через внешние радиусы ее пространственных изгибов в трехмерном мире, на самом деле может быть вычислена исключительно на основе измерений, проведенных внутри самой поверхности (без выхода в третье измерение). Это открытие перевернуло философию аналитической геометрии, породив понятие внутренней геометрии многообразий и заложив концептуальный фундамент для общей теории относительности Эйнштейна.