Трилинейные координаты и проективная геометрия треугольника

Определение и нормировка трилинейных координат

Рассмотрим базисный треугольник с вершинами $A, B, C$ и длинами противолежащих сторон $a, b, c$. Трилинейные координаты точки $P$ задаются тройкой чисел $(x : y : z)$, которые строго пропорциональны ориентированным расстояниям от точки $P$ до сторон $BC, CA, AB$ соответственно. Слово «ориентированные» означает, что если точка находится внутри треугольника, все три расстояния положительны. Если точка пересекает границу одной из сторон и оказывается снаружи, соответствующая координата становится отрицательной. В отличие от декартовых, трилинейные координаты являются однородными: тройки $(x : y : z)$ и $(kx : ky : kz)$ задают одну и ту же физическую точку. Точные (абсолютные) расстояния $x', y', z'$ восстанавливаются с помощью уравнения площади: $a x' + b y' + c z' = 2S$, где $S$ — площадь базисного треугольника.

Симметрия замечательных точек треугольника

Многовековые труды геометров по поиску особых точек треугольника (центров) в трилинейных координатах превращаются в элегантную арифметику. Инцентр (центр вписанной окружности) находится на абсолютно равном удалении от всех трех сторон, поэтому его трилинейные координаты имеют самый тривиальный вид: $(1 : 1 : 1)$. Центростяжести (центроид) связан с пропорциями площадей, и его координаты обратно пропорциональны длинам сторон: $(1/a : 1/b : 1/c)$. Ортоцентр (точка пересечения высот) имеет координаты $(\cos A : \cos B : \cos C)$ или, что эквивалентно, $(\sec A : \sec B : \sec C)$. Эта алгебраическая лаконичность позволяет математикам систематизировать тысячи известных центров треугольника (отраженных в знаменитой «Энциклопедии центров треугольника» Кларка Кимберлинга) и автоматически генерировать новые теоремы.

Линейные уравнения и бесконечно удаленная прямая

В трилинейной геометрии любая прямая линия задается линейным однородным уравнением вида $l x + m y + n z = 0$. Подставляя в это уравнение координаты двух различных центров, можно мгновенно вычислять уравнения прямых, проходящих через них. Так, знаменитая Прямая Эйлера, проходящая через ортоцентр, центроид и центр описанной окружности, алгебраически выводится за одну матричную операцию (через определитель координат). Поскольку трилинейные координаты однородны, они позволяют легко работать с проективной бесконечностью. Бесконечно удаленная прямая в трилинейных координатах задается уравнением $a x + b y + c z = 0$. Условие параллельности двух прямых алгебраически означает, что точка их пересечения лежит на этой бесконечно удаленной прямой, что сводит проверку параллельности к вычислению определителя 3х3.

Изогональное сопряжение и коники

Самым потрясающим нелинейным преобразованием в трилинейной геометрии является изогональное сопряжение. Если мы проведем прямые от вершин треугольника к точке $P$, а затем отразим эти прямые симметрично биссектрисам соответствующих углов, новые прямые обязательно пересекутся в одной точке $Q$. Точка $Q$ называется изогонально сопряженной к $P$. В трилинейных координатах это сложнейшее геометрическое преобразование описывается простейшей алгебраической операцией инверсии координат: точка с координатами $(x : y : z)$ переходит в точку $(1/x : 1/y : 1/z)$. Это преобразование выворачивает плоскость наизнанку, превращая прямые линии в кривые второго порядка (коники), проходящие через вершины базисного треугольника, навсегда связывая планиметрию с проективной алгеброй.