Декартова система координат с ее жесткой прямоугольной сеткой идеально подходит для описания прямых линий и многоугольников. Однако в природе и технике подавляющее большинство процессов связано с вращением, центральными силами и периодическими колебаниями. Для алгебраического описания таких явлений была разработана полярная система координат. Вместо движения вправо-влево и вверх-вниз, эта система использует принцип радара: положение точки задается направлением (углом) и расстоянием от центра. Переход к полярным координатам позволяет описывать невероятно сложные, самопересекающиеся и закрученные кривые с помощью предельно простых и коротких математических уравнений, открывая новые горизонты в аналитической геометрии и дифференциальном исчислении.

Переход от двумерной геометрии на плоскости к трехмерному пространству усложняет математический аппарат, но сохраняет изящную логику метода координат Декарта. В трехмерном мире основными линейными объектами становятся прямая линия и плоскость. Их аналитическое описание требует четкого понимания работы с векторами, так как именно векторы (нормальные и направляющие) задают жесткий каркас, удерживающий эти геометрические фигуры в пространстве. Решение задач на пересечение плоскостей, нахождение кратчайших расстояний между скрещивающимися прямыми и проектирование точек в пространстве составляют базис начертательной геометрии и систем автоматизированного проектирования (CAD), таких как AutoCAD или SolidWorks.

Появление понятия вектора стало поворотным моментом в истории геометрии и физики. Если скалярные величины (масса, температура) определяются только одним числом, то векторные величины (сила, скорость, перемещение) характеризуются как модулем (длиной), так и направлением в пространстве. В аналитической геометрии вектор представляет собой направленный отрезок, который можно свободно перемещать параллельно самому себе. Разложение вектора по ортонормированному базису декартовой системы координат превращает геометрические операции в простые арифметические действия над столбцами чисел. Венцом векторной алгебры являются операции умножения векторов: скалярное, векторное и смешанное произведения, которые позволяют вычислять углы, площади, объемы и моменты сил.

Если прямые описываются уравнениями первой степени, то кривые второго порядка задаются полными алгебраическими уравнениями второй степени относительно двух переменных. Исторически эти кривые были известны древнегреческим математикам как конические сечения — линии, образующиеся при пересечении прямого кругового конуса плоскостью под различными углами. Аналитическая геометрия доказала потрясающий факт: любая линия, описываемая уравнением второй степени на плоскости, путем параллельного переноса и поворота осей координат может быть приведена к одному из немногих канонических видов. Невырожденные кривые второго порядка включают в себя эллипс (частным случаем которого является окружность), гиперболу и параболу. Эти линии описывают орбиты планет, траектории комет и форму зеркал в оптических телескопах.