Мартингалы в теории вероятностей
Мартингалы представляют собой процессы с нулевым условным ожиданием приращений, моделирующие справедливые игры и процессы без дрейфа. Они играют ключевую роль в стохастическом анализе, теории остановок и финансовом моделировании.
Формально, адаптированный процесс ({M_t}_{tge0}) на фильтрованной вероятностной области является мартингалом, если (mathbb{E}[|M_t|] В непрерывном времени броуновское движение служит прототипом мартингала с независимыми приращениями. Стохастический интеграл Ито также является локальным мартингалом. Теория остановок для мартингалов даёт мощные результаты, такие как опциональная теорема о прекращении. В финансовой математике мартингалы моделируют дисконтированные цены активов в отсутствие арбитража. Теорема Гирсанова преобразует броуновское движение в процесс с дрейфом, изменяя меру. Мартингалы тесно связаны с марковскими цепями и стохастическими дифференциальными уравнениями.
