Стохастические дифференциальные уравнения в финансах
Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) описывают динамику систем с детерминированным дрейфом и броуновским шумом. Они моделируют цены активов, процентные ставки и волатильность.
СДУ Ито вида (dX_t = b(t,X_t)dt + sigma(t,X_t)dW_t) решается интегральным уравнением. Теоремы существования и единственности требуют локальной липшицевости коэффициентов и линейного роста. В финансах модель Блэка–Шоулза имеет явное решение, а модель Васичека для ставок демонстрирует обратимость к стационарному уровню.
Численные методы включают схему Эйлера–Маруямы, сходившуюся с порядком 1/2 по сильной ошибке. Более точные методы Милстайна и Рунге–Кутты повышают порядок. Монте-Карло симуляции оценивают цены опционов как средние дисконтированных выигрышей по траекториям. СДУ обобщают броуновское движение и мартингалы.
