Броуновское движение: свойства и приложения
Броуновское движение моделирует случайное перемещение частиц в жидкости и служит основой стохастического исчисления. Оно обладает непрерывными траекториями, независимыми приращениями и нормальным распределением отклонений.
Стандартное броуновское движение ({B_t}_{tge0}) начинается в нуле, имеет непрерывные почти наверняка траектории и независимые приращения (B_t-B_ssimmathcal{N}(0,t-s)). Свойство марковости отражает независимость будущего от прошлого при фиксированном настоящем. Квадратичная вариация растёт линейно, в отличие от нулевой вариации гладких функций.
Геометрическое броуновское движение (S_t = S_0exp((mu-frac{sigma^2}{2})t + sigma B_t)) моделирует цены акций с логнормальными приращениями и постоянной волатильностью. В стохастическом анализе броуновское движение генерирует семигруппу переходов, связанную с уравнением теплопроводности. Броуновское движение естественно продолжает темы мартингалов и стохастических уравнений.
