Уравнения в частных производных (УЧП) описывают процессы распространения: волновое u_{tt}=c²Δu, тепловое u_t=κΔu. Метод разделения переменных: u(x,t)=X(x)T(t) приводит к ОДУ. Собственные функции образуют базис для разложения решения. (378 символов)
Функциональный анализ изучает линейные операторы A: X→Y в нормированных пространствах. Спектр σ(A) = {λ∈ℂ: A-λI невырожден}. Собственные значения, собственные и сопряженные векторы. Компактные операторы имеют дискретный спектр с 0 как единственной предельной точкой. (412 символов)
Метрическое пространство (X,d) — множество с расстоянием d(x,y)≥0, d(x,y)=0 ⇔ x=y, симметричностью и неравенством треугольника. Нормированное пространство: ||x|| определяет метрику d(x,y)=||x-y||. Полное пространство (Банахово) — всякая фундаментальная последовательность сходится. Основа функционального анализа. (398 символов)
