Локальный максимум/минимум — точка, где функция не превосходит/не уступает соседним значениям. Теорема Ферма: в точке локального экстремума f'(c)=0 (при дифференцируемости). Теорема Ролля: если f(a)=f(b), f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то ∃c: f'(c)=0. (312 символов)

Вторая производная f''(x) характеризует скорость изменения первой производной, определяя выпуклость графика. Кривизна κ = |f''(x)|/(1+(f'(x))²)^{3/2} количественно измеряет отклонение от прямой. Точки перегиба f'' меняет знак. Эти понятия важны для анализа форм кривых. (287 символов)

Правила дифференцирования позволяют вычислять производные сложных функций через производные простых. Цепное правило (u(g(x)))' = u'(g(x))·g'(x) дифференцирует сложные функции, а неявное дифференцирование решает уравнения вида F(x,y)=0, находя dy/dx без явного выражения y(x). Эти методы составляют основу дифференциального исчисления. (298 символов)