Вариационное исчисление ищет экстремумы функционалов J[y] = ∫_a^b F(x,y,y') dx. Уравнение Эйлера-Лагранжа d/dx (∂F/∂y') = ∂F/∂y необходимо для стационарности. Интегралы Белтрами, инварианты, преобразования Лежандра. Основа оптимального управления. (412 символов)

Слабая сходимость x_n ⇀ x в банаховом X: ∀f∈X* → . Сильно x_n → x ⇒ слабо, но не наоборот. В рефлексивных пространствах (X**=X) шары слабо компактны (теорема Эберлейна-Шмульяна). Основа современной функциональной теории. (398 символов)

Интеграл Лебега обобщает римановский на произвольные множества: ∫_X f dμ = ∫_0^∞ μ({f≥t}) dt - ∫_{-∞}^0 [μ({f≥t})-μ(X)] dt. Лебега мера σ-аддитивна: μ(∪ A_i) = Σ μ(A_i) при попарной несдвигаемости. L^p пространства: ||f||_p = (∫ |f|^p dμ)^{1/p} < ∞. Основа современной теории меры. (428 символов)