Классическая теория оптимального потребления и инвестиций Мертона предполагает, что инвестор может непрерывно ребалансировать свой портфель без каких-либо затрат. Это приводит к математическому парадоксу: траектории броуновского движения имеют бесконечную вариацию, поэтому непрерывное удержание фиксированной доли актива требует бесконечного числа микроскопических сделок. При введении даже минимальных пропорциональных транзакционных издержек классическая теория рушится, и задача переходит в сложнейшую область сингулярного стохастического управления (Singular Stochastic Control).

Классические методы конечных разностей (FDM) отлично справляются с решением одномерных и двумерных параболических уравнений в частных производных (УЧП), возникающих при оценке опционов. Однако при переходе к многомерным задачам (например, опционы на корзину активов) или сложным геометриям граничных условий FDM теряет свою эффективность. Метод Галёркина и Метод конечных элементов (Finite Element Method, FEM) предоставляют мощный математический аппарат функционального анализа для проекционного решения таких уравнений.

Опционы Кванто (Quanto Options) представляют собой класс экзотических производных инструментов, выплата по которым определяется ценой базового актива, номинированного в иностранной валюте, однако конвертируется в национальную валюту по заранее зафиксированному обменному курсу. Это устраняет для инвестора трансляционный валютный риск, но порождает сложнейшую математическую задачу учета ковариации между доходностью актива и динамикой валютного курса.

Эпоха нулевых (ZLB, Zero Lower Bound) и отрицательных процентных ставок, наступившая после мирового финансового кризиса 2008 года, обрушила классическую математику финансовых рынков. Логнормальные модели (BDT, SABR) давали сбой из-за невозможности извлечения корня из отрицательного числа, а нормальные модели (Васичека) предсказывали равную вероятность как глубоко отрицательных, так и положительных ставок, что противоречило экономическому смыслу (люди всегда могут хранить наличные). Решением стала математическая концепция Теневой процентной ставки (Shadow Rate Model), первоначально предложенная Фишером Блэком еще в 1995 году.