Глубокое хеджирование (Deep Hedging): нейронные сети в стохастическом управлении портфелем

Математическая формализация Deep Hedging отходит от поиска "риск-нейтральной цены". Она базируется на стохастической оптимизации. Пусть $Z_t$ — экзогенная информация о рынке (цены активов, волатильность). Задача состоит в нахождении стратегии хеджирования $delta_t$ (количество базового актива), которая минимизирует выпуклую меру риска $ ho$ (например, Expected Shortfall или CVaR) от терминального убытка (Loss) хеджируемого портфеля в момент $T$: $min_delta ho(-PL_T^delta)$, где $PL_T^delta = -V_T(Z_T) + sum_{t=0}^{T-1} delta_t (S_{t+1} - S_t) - C_t(Delta delta_t)$. Здесь $V_T$ — выплата по деривативу, а $C_t$ — функция транзакционных издержек, которая строго штрафует алгоритм за частые сделки ($Delta delta_t = delta_t - delta_{t-1}$).

Вместо попыток решить уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана (что невозможно при наличии сложных издержек и высокой размерности), стратегия $delta_t$ параметризуется как Глубокая нейронная сеть (Deep Neural Network, DNN): $delta_t = F(t, Z_t, delta_{t-1} ; heta)$, где $ heta$ — веса (матрицы связей) нейронной сети. Входными данными сети являются текущие рыночные параметры и предыдущая позиция, а выходом — оптимальный размер сделки. Обучение сети происходит методом стохастического градиентного спуска (Adam Optimizer) на миллионах симулированных траекторий рынка (генерируемых, например, моделью Хестона или генеративно-состязательными сетями GAN).

Математическим обоснованием работоспособности этого метода является Теорема об универсальной аппроксимации (Universal Approximation Theorem), утверждающая, что нейронная сеть с достаточным количеством нейронов способна аппроксимировать любую измеримую функцию управления с заданной точностью. Сеть учится балансировать между риском изменения цены (требующим частой ребалансировки) и издержками (требующими бездействия). Она автоматически "открывает" для себя коридоры бездействия (No-Trade Regions) из теории сингулярного стохастического управления (Davis, Norman), но делает это для любого количества активов одновременно, элегантно преодолевая "проклятие размерности".

Список литературы:
1. Buehler H., Gonon L., Teichmann J., Wood B. Deep hedging. — Quantitative Finance, 2019.
2. Ruf J., Wang W. Neural networks for option pricing and hedging: a literature review. — Journal of Computational Finance, 2020.
3. Goodfellow I., Bengio Y., Courville A. Deep Learning. — MIT Press, 2016.
Эксперты: Ханс Бюлер, Йозеф Тейхманн, Лукас Гонон.