Модель Бейтса (Bates Model): объединение стохастической волатильности Хестона и скачков Мертона

Математическая структура модели Бейтса (SVJ — Stochastic Volatility with Jumps) задается системой стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Динамика цены актива $S_t$ описывается уравнением со скачками: $dS_t / S_{t-} = (mu - lambda k)dt + sqrt{v_t} dW_t^S + (Y_t - 1)dq_t$. Процесс условной дисперсии $v_t$ следует диффузии Кокса-Ингерсолла-Росса: $dv_t = kappa( heta - v_t)dt + sigma sqrt{v_t} dW_t^v$. Мгновенная корреляция между винеровскими процессами $dW_t^S$ и $dW_t^v$ равна $ ho$. Компонент скачков управляется пуассоновским процессом $q_t$ с интенсивностью $lambda$, а логарифм размера скачка $ln Y_t$ распределен нормально $N(mu_J, sigma_J^2)$. Величина $k = exp(mu_J + sigma_J^2/2) - 1$ компенсирует дрейф для удержания мартингального свойства в риск-нейтральной мере.

Введение скачков в модель стохастической волатильности решает фундаментальную проблему модели Хестона. Хестон отлично воспроизводит улыбку волатильности (Volatility Smile) для долгосрочных опционов, но математически не способен сгенерировать достаточно крутой перекос для краткосрочных опционов (до экспирации которых осталось несколько дней). В модели Бейтса за долгосрочную эволюцию улыбки отвечает стохастическая волатильность, а за краткосрочную крутизну — пуассоновские скачки, моделирующие внезапные шоки ликвидности или макроэкономические новости. Это делает модель исключительно точной на всем спектре экспираций.

Ценообразование европейских опционов в модели Бейтса осуществляется методом Карра-Мадана через Характеристическую функцию логарифма цены, которая вычисляется аналитически в замкнутом виде. Благодаря свойству независимости пуассоновских скачков и диффузии, общая характеристическая функция модели Бейтса является простым произведением характеристической функции Хестона и характеристической функции скачков Мертона. Это позволяет использовать алгоритмы Быстрого преобразования Фурье (FFT) для мгновенного нахождения цен по всей сетке страйков, обеспечивая вычислительную эффективность, сопоставимую с простейшими моделями.

Калибровка модели Бейтса к рыночной поверхности подразумеваемой волатильности требует одновременного поиска пяти параметров ($kappa, heta, sigma, ho, v_0$) из диффузионной части и трех параметров ($lambda, mu_J, sigma_J$) из скачкообразной части. Из-за обилия параметров оптимизационный ландшафт содержит множество локальных минимумов. Риск-менеджеры применяют гибридные алгоритмы (сочетание генетических алгоритмов и метода Левенберга-Марквардта) для стабилизации калибровки. Модель Бейтса является индустриальным стандартом для оценки сложных экзотических опционов на фондовые индексы и валюты, где пренебрежение риском совместного влияния скачков и стохастической волатильности ведет к критическим убыткам деска деривативов.

Список литературы:
1. Bates D.S. Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutsche Mark Options. — Review of Financial Studies, 1996.
2. Gatheral J. The Volatility Surface: A Practitioner's Guide. — Wiley, 2006.
3. Руа Ф.Э. Модель Хестона и ее расширения. — М.: Наука, 2015.
Эксперты: Дэвид Бейтс, Джим Гатерал, Фабрис Руа.