Мультифрактальная модель времени в финансах (MMF) Мандельброта

Классические модели (GARCH или стохастическая волатильность) описывают кластеризацию волатильности и толстые хвосты распределений через авторегрессионные уравнения. Мандельброт предложил геометрический, фрактальный подход. Основа MMF заключается в том, что логарифмическая цена актива $X(t)$ является составным стохастическим процессом: $X(t) = B( heta(t))$. Здесь $B(s)$ — это дробное броуновское движение (Fractional Brownian Motion), работающее в фиктивном "торговом времени" $s$. А процесс $ heta(t)$ — это стохастическая деформация времени (Time Deformation), монотонно возрастающая функция, которая переводит обычное физическое (календарное) время $t$ в торговое время $ heta(t)$.

Фундаментальная инновация MMF скрывается в природе процесса $ heta(t)$. Он строится как кумулятивная функция распределения (CDF) мультифрактальной меры (Multifractal Measure), генерируемой мультипликативными биномиальными каскадами. В случайном биномиальном каскаде масса вероятности (время) рекурсивно делится на неравные случайные доли $M_1$ и $M_2$ (такие, что $M_1 + M_2 = 1$). После бесконечного числа делений получается функция $ heta(t)$, которая непрерывна, но не имеет производной (сингулярна) почти всюду. В те моменты, когда $ heta(t)$ испытывает крутой рост (время "ускоряется"), на рынке происходит шквал транзакций и всплеск волатильности. Когда $ heta(t)$ растет медленно, рынок замирает.

Математическое свойство мультифракталов заключается в спектре масштабирования (Scaling Spectrum). В то время как для классического винеровского процесса моменты приращений $mathbb{E}[|X(t+Delta t) - X(t)|^q]$ масштабируются пропорционально $Delta t^{q/2}$ (линейная функция скейлинга), в мультифрактальной модели функция скейлинга $ au(q)$ является строго вогнутой нелинейной функцией. Это математически доказывает, что различные моменты распределения доходностей ведут себя по-разному при изменении временного горизонта, что идеально совпадает с эмпирическими наблюдениями на рынках форекс и акций.

Модель MMF элегантно объясняет все стилизованные факты (Stylized Facts) финансовых рынков одной формулой: толстые хвосты возникают из-за экстремальных сжатий времени, кластеризация волатильности — следствие каскадной природы мультифрактальной меры, а глобальное масштабирование (Scaling) — врожденное свойство фракталов. Хотя MMF сложна для калибровки и прямого ценообразования опционов (ввиду отсутствия марковости), она породила класс марковских мультифрактальных моделей (MSM), которые успешно конкурируют с GARCH-моделями в прогнозировании Value-at-Risk на долгосрочных горизонтах.

Список литературы:
1. Mandelbrot B.B., Fisher A.J., Calvet L.E. A Multifractal Model of Asset Returns. — Cowles Foundation Discussion Paper, 1997.
2. Calvet L.E., Fisher A.J. Multifractal Volatility: Theory, Forecasting, and Pricing. — Academic Press, 2008.
3. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. — М.: ФАЗИС, 2004.
Эксперты: Бенуа Мандельброт, Лоран Кальве, Адель Фишер.