Теорема Стокса: ∫_S (curl F) · dS = ∫_∂S F · dr связывает объемный интеграл ротора с поверхностным по границе. Теорема Грина — частный случай в плоскости, Гаусса/Остроградского — для дивергенции. Эти тождества упрощают вычисления и выражают локальные свойства через глобальные. (398 символов)
Дифференциал df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy линейно аппроксимирует приращение функции. Полный дифференциал при y=y(x): df = (∂f/∂x + ∂f/∂y y') dx. Условие точности: ∂M/∂y = ∂N/∂x для M dx + N dy. Используется для интегрирования и численных методов. (378 символов)
Функция z = f(x,y) нескольких переменных дифференцируема по x при фиксированном y: ∂f/∂x = lim_{h→0} [f(x+h,y)-f(x,y)]/h. Частная производная описывает скорость изменения по одной координате. Смешанные производные ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x по т. Шварца при непрерывности. (352 символа)
Голоморфная функция f(z) дифференцируема в смысле комплексной производной f'(z) = lim_{h→0} [f(z+h)-f(z)]/h, h∈ℂ. Условие Коши-Римана: ∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = -∂v/∂x для f = u+iv. Голоморфные функции аналитичны всюду в области. (378 символов)
Криволинейный интеграл 1-го рода ∫_C f ds — работа вдоль кривой, 2-го рода ∫_C F · dr — поток через кривую. Поверхностный ∬_S F · dS — поток через поверхность. Параметризация: ds = ||r'(t)|| dt, dr = r'(t) dt. Основные инструменты векторного анализа. (392 символа)
Кратные интегралы обобщают определенный интеграл на несколько переменных: ∬_D f(x,y) dA, ∭_V f(x,y,z) dV. Вычисляются итерационно: ∬_D f dA = ∫_a^b [∫_{g(x)}^{h(x)} f(x,y) dy] dx. Используются для объемов, масс, моментов инерции в многомерной геометрии и физике. (378 символов)
Уравнения в частных производных (УЧП) описывают процессы распространения: волновое u_{tt}=c²Δu, тепловое u_t=κΔu. Метод разделения переменных: u(x,t)=X(x)T(t) приводит к ОДУ. Собственные функции образуют базис для разложения решения. (378 символов)
Функциональный анализ изучает линейные операторы A: X→Y в нормированных пространствах. Спектр σ(A) = {λ∈ℂ: A-λI невырожден}. Собственные значения, собственные и сопряженные векторы. Компактные операторы имеют дискретный спектр с 0 как единственной предельной точкой. (412 символов)
Метрическое пространство (X,d) — множество с расстоянием d(x,y)≥0, d(x,y)=0 ⇔ x=y, симметричностью и неравенством треугольника. Нормированное пространство: ||x|| определяет метрику d(x,y)=||x-y||. Полное пространство (Банахово) — всякая фундаментальная последовательность сходится. Основа функционального анализа. (398 символов)
Вариационное исчисление ищет экстремумы функционалов J[y] = ∫_a^b F(x,y,y') dx. Уравнение Эйлера-Лагранжа d/dx (∂F/∂y') = ∂F/∂y необходимо для стационарности. Интегралы Белтрами, инварианты, преобразования Лежандра. Основа оптимального управления. (412 символов)
