Традиционный подход к оценке рисков базируется на коэффициенте линейной корреляции Пирсона. Актуарии десятилетиями считали, что рисками (например, смертностью, убытками по ОСАГО и падением фондового индекса) можно управлять, просто оценив их попарную корреляцию. Однако глобальный финансовый кризис обнажил фундаментальную ошибку: линейная корреляция измеряет лишь линейную зависимость и абсолютно слепа к сложным нелинейным связям. В обычные дни рынки могут быть независимы (корреляция близка к нулю), но в моменты глобальной паники (хвостовые события) все активы падают одновременно. Для математического описания этих скрытых зависимостей в управление рисками ворвались Копула-функции (Copulas) — мощный алгебраический аппарат, перевернувший теорию многомерных распределений.

Как мы уже выяснили в коллективной модели риска, суммарный убыток портфеля зависит от двух независимых случайных величин: частоты наступления страховых случаев (N) и тяжести каждого отдельного иска (X_i). Аналитическое объединение этих двух компонентов требует вычисления сложного распределения (Compound Distribution). Прямой математический путь решения этой задачи лежит через многократную свертку (Convolution) распределений тяжести, взвешенных на вероятности частоты. Однако для портфеля из сотен тысяч полисов ОСАГО или ДМС прямое интегральное вычисление свертки требует астрономических вычислительных мощностей. В 1981 году Гарри Панджер совершил математическую революцию, опубликовав рекурсивный алгоритм, который радикально ускорил этот процесс, сделав возможным точный расчет тарифов на обычных компьютерах.

Традиционное накопительное страхование жизни стремительно теряет популярность из-за низких гарантированных процентных ставок. На смену ему пришли продукты инвестиционного страхования (Unit-Linked и Variable Annuities), где премии клиента инвестируются в паевые инвестиционные фонды, а финансовый риск перекладывается на плечи страхователя. Однако для повышения привлекательности продуктов страховщики встраивают в них сложные инвестиционные гарантии (например, возврат не менее вложенной суммы при смерти или по окончании договора, независимо от падения фондового рынка). Эти гарантии (GMDB, GMAB, GMIB) по своей математической природе являются долгосрочными финансовыми деривативами. Их прайсинг и хеджирование стали самым серьезным вызовом для современной актуарной математики.