Распределение Пуассона и Теория Панджера в моделировании частоты убытков

Чтобы алгоритм Панджера сработал, распределение частоты убытков (N) должно принадлежать к особому алгебраическому классу, известному как класс (a, b, 0). Математическое определение этого класса гласит: отношение вероятности наступления ровно k страховых случаев к вероятности наступления k-1 случаев должно строго подчиняться линейному уравнению вида: p_k / p_{k-1} = a + b/k (для любого k больше нуля). В этот изящный класс входят только три фундаментальных дискретных распределения: биномиальное (описывает риски с фиксированным максимальным числом убытков), распределение Пуассона (описывает классические независимые и редкие события) и отрицательное биномиальное распределение (описывает гетерогенные портфели с высокой дисперсией — явлением перерассеяния).

Если частота убытков подчиняется одному из распределений класса (a, b, 0), а распределение тяжести единичного убытка дискретизировано (представлено в виде гистограммы с постоянным шагом, например, блоками по 1000 рублей), в игру вступает магия Рекурсии Панджера (Panjer Recursion). Вместо вычисления сложных N-мерных интегралов, Панджер вывел простую рекуррентную формулу. Вероятность того, что суммарный годовой убыток портфеля составит ровно x рублей, вычисляется исключительно на основе вероятностей суммарных убытков, которые строго меньше x, умноженных на значения дискретизированной тяжести и коэффициенты a и b. Формула вычисляет вероятности последовательно, шаг за шагом: начиная от вероятности нулевого убытка, затем для 1000 рублей, 2000 рублей и так далее.

Алгоритм Панджера снижает вычислительную сложность свертки с экспоненциальной до полиномиальной (порядка O(n^2)), что в тысячу раз быстрее прямого перебора. Эта формула является ежедневным рабочим инструментом актуариев при ценообразовании договоров непропорционального перестрахования, расчете франшиз и моделировании агрегированных годовых потерь. Однако у метода есть вычислительные уязвимости: при работе с огромными портфелями и очень мелким шагом дискретизации рекурсия подвержена ошибкам машинного округления (Underflow Errors), а при отрицательном коэффициенте "a" (биномиальное распределение) может возникать численная нестабильность из-за потери значащих цифр при вычитании.

Для обхода ограничений рекурсии Панджера современная актуарная математика использует альтернативный аппарат — Быстрое преобразование Фурье (Fast Fourier Transform, FFT). Идея заключается в переходе из пространственно-вероятностной области в частотную (домен комплексных чисел). Характеристическая функция (или производящая функция моментов) суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Алгоритм FFT за миллисекунды преобразует гистограмму тяжести в вектор комплексных чисел, возводит этот вектор в степень (в соответствии с распределением частоты Пуассона) и затем с помощью Обратного преобразования Фурье (IFFT) возвращает готовое искомое распределение агрегированных убытков. Симбиоз алгоритмов Панджера, Фурье и симуляций Монте-Карло формирует вычислительное ядро всех современных платформ актуарного прайсинга, таких как Prophet или Emblem.