Ценообразование экзотических опционов: Клике (Cliquet Options) и форвардная волатильность

Математически, стандартный Клике-контракт сроком на $T$ лет разбивается на $N$ периодов наблюдения (например, ежегодно) $t_0, t_1, dots, t_N$. Доходность актива в каждом периоде определяется как $R_i = S_{t_i} / S_{t_{i-1}} - 1$. Глобальная выплата по контракту часто имеет нелинейную двухуровневую структуру кэпов и флоров: $ ext{Payoff} = maxleft( min left( sum_{i=1}^N max( min(R_i, C_L), F_L ), C_G ight), F_G ight)$. Здесь $C_L$ и $F_L$ — локальные потолок (Cap) и пол (Floor) для доходности каждого периода, а $C_G$ и $F_G$ — глобальные ограничения на общую выплату. Оценка такого функционала требует знания полного совместного многомерного распределения цен на всех датах фиксации.

Если бы волатильность была постоянной (как в модели Блэка-Шоулза), доходности $R_i$ были бы независимыми и одинаково распределенными, и опцион сводился бы к сумме форвардно-стартовых опционов (Forward Starting Options). Но на реальном рынке модель Блэка-Шоулза систематически недооценивает Клике-опционы. Проблема заключается в динамике улыбки волатильности. Местная модель волатильности Дюпира (Local Volatility) гарантирует точную калибровку к сегодняшним европейским опционам, но предсказывает, что в будущем улыбка волатильности "сгладится" и потеряет свою форму. Это приводит к математически неверной (заниженной) оценке стоимости будущих локальных кэпов и флоров.

Для корректного прайсинга Клике-структур финансовые инженеры вынуждены применять модели, которые способны генерировать устойчивую Форвардную улыбку (то есть вероятность того, что улыбка волатильности сохранится через 5 лет, даже если рынок сильно упадет или вырастет). С этой задачей справляются гибридные модели Стохастической локальной волатильности (SLV) или прыжковой диффузии со стохастической волатильностью (Bates Model, SVJ). Калибровка SLV-моделей — это вычислительный шедевр: требуется одновременно решать нелинейное обратное уравнение Фоккера-Планка для локальной компоненты (Fokker-Planck PDE) и уравнение Хестона для стохастической компоненты, чтобы добиться идеального согласования модельных и рыночных цен.

Список литературы:
1. Wilmott P. Paul Wilmott on Quantitative Finance. — Wiley, 2006.
2. Gatheral J. The Volatility Surface: A Practitioner's Guide. — Wiley, 2006.
3. Lucic V. Forward Volatility and Cliquet Options. — Quantitative Finance, 2003.
Эксперты: Пол Вилмотт, Джим Гатерал, Владимир Лучич.