Как передать объемную форму трехмерного объекта на абсолютно плоском листе бумаги или экране монитора? Эта фундаментальная проблема решается методами начертательной геометрии и аналитической теории проецирования. Для создания инженерных чертежей, на которых размеры детали можно измерять линейкой без сложных пересчетов, используется аппарат аксонометрических проекций. Самой популярной и наглядной из них является изометрическая проекция. Построение математических матриц проекции — это чистая линейная алгебра, которая позволяет компьютерным процессорам переводить 3D-координаты вершин моделей в 2D-координаты пикселей экрана, сохраняя ощущение пространственной глубины и строгую параллельность линий.

Вычисление площадей и объемов тел сложной пространственной формы — одна из древнейших задач геометрии. В аналитической геометрии и интегральном исчислении особое место занимают тела и поверхности вращения, которые образуются при непрерывном вращении произвольной плоской кривой вокруг некоторой оси. Задолго до изобретения дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем, античный математик Папп Александрийский (а позже, в XVII веке, швейцарец Пауль Гюльден) сформулировали две поразительные теоремы. Эти теоремы связывают площадь поверхности и объем тела вращения с кинематической траекторией центра масс образующей фигуры, элегантно соединяя геометрию с классической механикой.

Выбор системы координат — это всегда вопрос удобства исследователя, а не внутреннее свойство самой физической реальности. Сложные геометрические поверхности или физические тензоры, уравнения которых выглядят громоздкими и нерешаемыми в одной системе отсчета, могут приобрести идеально простую, диагональную форму при удачном повороте осей. Поэтому важнейшим инструментом аналитической геометрии является алгебраический аппарат преобразования координат. Он позволяет математически безупречно пересчитывать числовые значения (координаты точек и компоненты векторов) при смене базиса, опираясь на использование матриц перехода. Эти преобразования делятся на ковариантные и контравариантные, что составляет основу тензорного исчисления.