Взаимодействие света с зеркалами, обтекание корпусов аэрокосмических аппаратов и расчет прочности сосудов высокого давления требуют точного математического знания геометрии касательных плоскостей и векторов нормалей. В аналитической геометрии для поверхностей второго порядка (эллипсоидов, конусов, гиперболоидов) уравнения касательных выводятся без использования сложного аппарата дифференциальных уравнений и предельных переходов. Благодаря строгой алгебраической симметрии квадратичных форм, уравнение касательной плоскости в любой точке поверхности можно получить мгновенно с помощью элегантного правила поляризации, которое устанавливает прямую связь между формой поверхности и направлением градиента.

В евклидовой геометрии на плоскости и в трехмерном пространстве для вычисления площадей и объемов используются определители и векторные (а также смешанные) произведения. Но как вычислить объем пятимерного параллелепипеда в десятимерном пространстве? Обычное векторное произведение там физически не работает. Для решения этой фундаментальной метрической задачи датский математик Йорген Педерсен Грам ввел универсальную алгебраическую конструкцию — Матрицу Грама. Она состоит исключительно из всевозможных попарных скалярных произведений векторов и позволяет аналитически находить гиперобъемы, углы между подпространствами и строить оптимальные ортогональные проекции.

Общее уравнение поверхности второго порядка в трехмерном пространстве содержит десять алгебраических коэффициентов и описывает широчайший спектр трехмерных фигур: от реальных эллипсоидов и однополостных гиперболоидов до вырожденных пар плоскостей и мнимых конусов. Приведение этого громоздкого полинома к наглядному каноническому виду путем подбора углов поворота осей координат — процесс крайне трудоемкий. Однако, подобно кривым на плоскости, трехмерные поверхности можно мгновенно классифицировать с помощью алгебраической теории инвариантов. Вычисление нескольких матричных детерминантов позволяет машине безошибочно определить топологический тип поверхности, не решая самого нелинейного уравнения.