Аналитическая геометрия не ограничивается плоским евклидовым пространством. В навигации, геодезии и сферической астрономии все геометрические построения происходят на поверхности двумерной сферы. Сферическая геометрия кардинально отличается от планиметрии: здесь нет параллельных прямых, а сумма углов треугольника всегда превышает 180 градусов. Однако методы декартовой векторной алгебры позволяют перевести эту искривленную топологию на язык строгих трехмерных матричных вычислений. Проецируя координаты точек сферы в объемлющее трехмерное пространство, инженеры получают идеальный алгебраический аппарат для вычисления кратчайших путей для авиалайнеров и орбит спутников.

На протяжении тысячелетий пятый постулат Евклида о параллельных прямых считался незыблемой истиной. Однако в XIX веке Николай Лобачевский доказал возможность существования совершенно иной, непротиворечивой геометрии, в которой через точку вне прямой можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих данную. Сначала эти идеи казались абстрактной фантазией, но позже математики Эудженио Бельтрами, Феликс Клейн и Анри Пуанкаре создали строгие аналитические модели, которые позволили визуализировать и изучать геометрию Лобачевского методами классической Декартовой алгебры. Модель диска Пуанкаре переводит парадоксальную геометрию отрицательной кривизны на язык евклидовых окружностей внутри единичного круга.

Евклидова аналитическая геометрия прекрасно работает на плоском листе бумаги или в прямоугольном трехмерном пространстве, где расстояние между точками легко вычисляется по теореме Пифагора. Однако при переходе к геометрии сложных криволинейных поверхностей (например, сферы, тора или четырехмерного пространства-времени) теорема Пифагора перестает работать. Кратчайшее расстояние между двумя городами на поверхности Земли — это не прямая линия, а дуга большого круга. Для алгебраического описания геометрии таких искривленных миров Бернхард Риман создал аппарат дифференциальной геометрии, краеугольным камнем которого является фундаментальная матрица $g_{ij}$ — метрический тензор. Он определяет сами понятия длины, угла и объема в любой произвольно искривленной системе координат.