Внешние дифференциальные формы Картана: геометрия многообразий

Внешняя алгебра Грассмана и антикоммутативность

Фундаментом дифференциальных форм является внешняя алгебра (алгебра Грассмана), в которой вводится новая операция — внешнее умножение (векторное клиновое умножение). В отличие от обычного скалярного перемножения чисел, внешнее произведение двух базовых дифференциалов антикоммутативно: dx умножить на dy строго равно минус (dy умножить на dx). Из этого немедленно следует фундаментальное свойство: внешнее произведение дифференциала самого на себя тождественно равно нулю (dx умножить на dx = 0). Геометрически внешнее произведение двух 1-форм (векторов) образует 2-форму — бивектор, описывающий ориентированную площадь параллелограмма. Внешнее умножение трех 1-форм генерирует 3-форму (ориентированный объем), и так далее вплоть до размерности пространства.

Оператор внешнего дифференциала

Картан ввел универсальный оператор внешнего дифференцирования (обозначаемый буквой d), который обобщает градиент, ротор и дивергенцию в одной операции. Если применить оператор d к скалярной функции (0-форме), мы получаем ее полный дифференциал (1-форму) — аналог градиента. Применение оператора d к 1-форме порождает 2-форму — аналог ротора. Применение d к 2-форме дает 3-форму (дивергенцию). Величайшим алгебраическим свойством этого оператора является тождество Пуанкаре: двойное применение внешнего дифференциала к любой форме всегда дает строгий нуль (d(dw) = 0). Это компактное тождество физически означает, что ротор любого градиента равен нулю, а дивергенция любого ротора также равна нулю.

Обобщенная теорема Стокса

Главным триумфом теории дифференциальных форм Картана является обобщенная теорема Стокса. В классическом анализе существуют теорема Ньютона-Лейбница, теорема Грина, теорема Остроградского-Гаусса и классическая теорема Стокса. Картан доказал, что все эти сложные теоремы — лишь частные проявления одного универсального геометрического закона. Обобщенная теорема гласит: интеграл от внешней дифференциальной формы (dw) по некоторому ориентированному многообразию (V) в точности равен интегралу от самой первоначальной формы (w) по границе этого многообразия (дV). Эта короткая алгебраическая формула связывает внутреннюю структуру пространства с его границами независимо от размерности Вселенной.

Когомологии де Рама и топология

Внешние формы открыли мост между аналитической геометрией и алгебраической топологией. Форма w называется замкнутой, если ее дифференциал равен нулю (dw = 0). Форма называется точной, если она сама является дифференциалом некоторой другой формы (w = du). Из тождества Пуанкаре следует, что каждая точная форма автоматически является замкнутой. Но верно ли обратное? Швейцарский математик Жорж де Рам доказал, что наличие замкнутых, но не точных форм напрямую зависит от наличия многомерных дыр в топологическом многообразии! Изучая факторгруппы замкнутых форм по точным формам, математики вычисляют группы когомологий де Рама. Это позволяет аналитически находить количество дыр в поверхностях (топологические инварианты) путем простого решения дифференциальных уравнений на этих поверхностях.