Когда мы проектируем крыло самолета, опоры моста или корпус ядерного реактора, нам необходимо точно знать, как материал будет сопротивляться деформации под действием нагрузок. В отличие от силы, которая описывается простым вектором, внутренние напряжения в твердом теле распределяются во всех направлениях сложным образом. На каждую грань микроскопического кубика внутри металла действуют как нормальные силы (растяжение/сжатие), так и касательные (сдвиг). Для математического описания этой трехмерной паутины сил Огюстен Луи Коши создал Тензор напряжений — фундаментальный объект линейной алгебры. Тензорное исчисление переводит сложные физические законы Гука в форму матричных уравнений, где поиск разрушающих нагрузок сводится к классической спектральной задаче.

В классическом евклидовом пространстве расстояние между точками измеряется с помощью теоремы Пифагора, что математически эквивалентно использованию единичной матрицы в квадратичной форме. Однако в статистике и машинном обучении данные часто имеют сложную структуру: переменные имеют разный масштаб (например, рост в метрах и вес в граммах) и сильно коррелируют друг с другом (высокие люди обычно весят больше). Использование обычного евклидова расстояния для поиска аномалий или кластеризации таких данных приведет к катастрофическим ошибкам. Индийский статистик Прасанта Чандра Махаланобис решил эту проблему, внедрив в формулу расстояния обратную ковариационную матрицу. Метрика Махаланобиса превращает облако зависимых вероятностей в идеально круглое, симметричное пространство.

Алгоритмы Ланцоша и Арнольди великолепно справляются с нахождением крайних (самых больших или самых маленьких) собственных значений гигантских разреженных матриц. Однако в физике твердого тела, фотонике и квантовой химии инженерам часто требуется найти собственные значения, спрятанные глубоко внутри спектра (вблизи заданного пользователем значения). Классические методы в подпространствах Крылова для этой задачи сходятся катастрофически медленно. В 1996 году голландские математики Герард Слейпен и Хенк ван дер Ворст совершили прорыв, объединив старинный метод диагонализации Якоби с алгоритмом подпространств Дэвидсона. Так родился метод Якоби-Дэвидсона — невероятно гибкий алгоритм, позволяющий целенаправленно извлекать резонансные частоты из самого центра матричного спектра.

Матрицы Вандермонда позволяют восстанавливать полиномы, но многие физические процессы (например, резонансные контуры в электротехнике или квантовые сечения рассеяния) лучше описываются не полиномами, а рациональными функциями (дробями, где числитель и знаменатель — многочлены). Для алгебраической интерполяции рациональными функциями французский математик Огюстен Луи Коши предложил специальный класс матриц. Элементы матрицы Коши строятся по строгой дробной формуле, опирающейся на два независимых набора чисел. Эта матрица обладает одним из самых красивых аналитических определителей в математике, но при этом порождает чудовищные вычислительные проблемы из-за экстремальной степени плохой обусловленности.